Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABCDE$ dışbükey beşgeninde $ |AB| = |AE| = |CD| = 1$, $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{DEA})=90^\circ $ ve $|BC|+|DE|=1$ dir. Beşgenin alanını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$|BC|=x$, $|DE|=y$ dersek $x+y=1$ olur. $ABC$ dik üçgenini $A$ noktası etrafında $m(\widehat{BAE})$ kadar döndürerek $AEC'$ dik üçgenini oluşturalım. Diğer bir deyişle, $AEC' \cong ABC$ olacak biçimde $AEC'$ eş üçgenini çizelim.

Bu eşliğe göre $|C'A|=|CA|$, $|BC|=|EC'|=x$ olup $D,E,C'$ doğrusal olduğundan $|DC'|=x+y=1$ olur. Böylece $ACD \cong AC'D$ kenar-kenar-kenar eşliği vardır. Dolayısıyla $Alan(ABCDE)=Alan(ACDC')=2\cdot  Alan(ADC')=2\cdot  \dfrac{|AE|\cdot |DC'|}{2}=1$ elde edilir $\blacksquare $

[geo]

$CH=BC=x$ ve $DH=DE=y$ olacak şekilde $CD$ üzerinde bir $H$ noktası alalım.
$AC^2-AD^2 = (x^2+1)-(y^2+1) = x^2-y^2$ ve $CH^2 - DH^2 = x^2 - y^2$ olduğu için $AH \perp CD$ ve $AH=AB=AE=1$.
$[ABCDE] = [ABC] + [AED] + [ADC] = \dfrac x2 + \dfrac y2 + \dfrac 12 = 1$.