$p=2$ durumunu aradan çıkaralım. $\{(0,0), (1,0)\}$ olduğu için $p=2$ sağlar.
Şimdi $(x,y)$ ikililerinin sayısı tek olduğu için denkliğin $y=0$ ken çözümü olmalı. Aksi halde çözüm sayısı, $(-x,y)$ de bir çözüm olduğundan çift olurdu. Bu durumda $0 \equiv x^3 - x \pmod p \Rightarrow x \equiv 0,1,-1 \pmod p$ şeklinde $3$ çözüm garanti bulunur. Demek ki geriye kaldı $p-3$ çözüm. Bu çözümler çiftler halinde olduğu için $\dfrac {p-3}2$ daha $x$ değeri için denkliğin sağlanması gerekecek.
Euler kriteri: $y^2 = a \pmod p \Leftrightarrow a^{\frac {p-1} 2} \equiv 1 \pmod p$
(Fermat'ın Küçük Teoreminden rahatça ispatlanabilir.)
$p=4k+1$ olsun. $\dfrac {p-3}2 = 2k-1$ adet $x$ değeri arıyoruz.
$a^{\frac {p-1}2}=a^{2k} \equiv 1 \pmod p$ denkliğini $a$ sağlıyorsa, $-a$ da sağlar. Ya da tam tersi.
Bu durumda $f(x) = x^3 - x = y^2$ polinomu $a$ değeri için bir kuadratik kalana eşit oluyorsa, $f(a) = -f(-a)$ olduğu için $-a$ değeri için de bir kuadratik kalana eşittir. Yani $(a,y_1)$ bir çözümse $(a,-y_1)$, $(-a,y_2)$, $(-a, -y_2)$ ler diğer çözümlerdir. Yani çift sayıda $x$ değeri vardır; halbuki $2k-1$ adet bekliyorduk. Çelişki.
$p=4k+3$ olsun. $\dfrac {p-3}2 = 2k$ adet $x$ değeri arıyoruz.
$a^{\frac {p-1}2}=a^{2k+1} \equiv 1 \pmod p$ olduğu için $a$ bir kuadratik kalan ise $-a$ bir kuadratik kalan olamaz. Ya da tam tersi.
Bu durumda $f(2), f(-2)$, $f(3), f(-3)$, $\dots$, $f(2k+1), f(-(2k+1))$ çiftlerinden tam olarak bir tanesi kuadratik kalan olmalı. Bunların adedi de $2k$.
Sonuç olarak $p=2$ ve $p=4k+3$ formundaki asal sayılar için $(x,y)$ ikililerinin sayısı $p$ tanedir.