Kirişler dörtgeninde bir eşitsizlik {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (R. S. Luthar): $ABCD$ kirişler dörtgeninde $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenler ise $(|AD| - |BC|)^2 + (|AB| - |DC|)^2 \geq (|AC| - |BD|)^2$ olduğunu kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Bu eşitsizliği ispatlamak için dörtgenlerle ilgili ünlü iki teoremi bilmek yeterlidir.

Euler'in Teoremi: $ABCD$ bir konveks dörtgen olsun. $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$ olmak üzere, $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|EF|^2$$ eşitliği sağlanır.

Ptolemy Teoremi: $ABCD$ bir kirişler dörtgeni olmak üzere, $$|AB|\cdot|CD|+|BC|\cdot|DA|=|AC|\cdot|BD|$$ eşitliği sağlanır.

Euler teoreminden $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\geq |AC|^2+|BD|^2$$ elde edilir. Ptolemy teoreminden $$-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$$ olduğundan $$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|\geq |AC|^2+|BD|^2-2|AC|\cdot|BD|$$ olur. Düzenlersek, $$(|AD| - |BC|)^2 + (|AB| - |DC|)^2 \geq (|AC| - |BD|)^2$$ elde edilir. Eşitlik durumu için $|EF|=0$ olmalıdır. Yani köşegenlerin kesişim noktası ayrıca köşegenlerin orta noktasıdır. Bu durumu sağlayan dörtgenler paralelkenardır. $ABCD$ kirişler dörtgeni olduğundan eşitlik durumu dikdörtgen olmalıdır.

Not: $-2|AB|\cdot|CD|-2|BC|\cdot|DA|=-2|AC|\cdot|BD|$ olarak eşitsizliğe koymak yerine pozitif hallerini koysaydık $$(|AD| + |BC|)^2 + (|AB| + |DC|)^2 \geq (|AC| + |BD|)^2$$ elde edilirdi ve eşitlik durumu hala dikdörtgen olurdu.

[Lokman Gökçe]

Kirişler dörtgeni bilgisi kaldırılıp, daha genel biçimde problemi şöyle sunabiliriz:

Problem: Düzlemde alınan keyfi $A, B, C, D$ noktaları için $$(|AD| + |BC|)^2 + (|AB| + |DC|)^2 \geq (|AC| + |BD|)^2$$ eşitsizliği geçerlidir.


Çözüm: Metin Can Aydemir'in yukarıda yaptığı adımları uygulayabiliriz. $A, B, C, D$ noktaları için Euler'in dörtgen formülünü uyguladıktan sonra, $A, B, C, D$ noktaları için Ptolemy eşitsizliğini $ |AB|\cdot|CD| + |BC|\cdot |AD| \geq |AC|\cdot |BD|$ biçiminde yazmak yeterlidir. Euler formülünde $[AC]$ ve $[BD]$ nin orta noktaları çakışırsa, Ptolemy eşitsizliğinde de $ABCD$ kirişler dörtgeni olursa eşitlik sağlanır. Bu, $ABCD$'nin bir dikdörtgen olması ya da $A=D$, $B=C$ ( veya $A=B$, $C=D$) biçiminde dejenere dikdörtgen olması demektir.