Tübitak Lise Takım Seçme 1998 Soru 5

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarına $A$ noktasında teğet olan ve $C$ noktasından geçen çember ile $[AC]$ kenarına yine $A$ noktasında teğet olan ve $B$ noktasından geçen çemberin yarıçapları farklı olup bu iki çember $A$ dan farklı bir $D$ noktasında kesişiyor. $E$ noktası $[AB$ ışını üzerinde bulunan ve $|AB|=|BE|$ koşulunu gerçekleyen nokta olma üzere; $A,D,E$ noktalarından geçen çember ile $[CA$ ışının $A$ dan farklı olan kesişim noktası $F$ ise, $\vert CF\vert =\vert AC\vert $ olduğunu ispatlayınız.

[geo]

Soruyu sade bir şekilde çizmek çok önemli. Çevre açı ile teğet-kiriş açıların eşitliğinden

$\angle ABD=\angle DAC$ ve $\angle ACD=\angle BAD$. $A,D,F,E$ aynı çember üzerinde bulunduğundan $\angle AED=\angle AFD$ dir. Açı-Açı benzerliğinden $\triangle ABD\sim \triangle CAD$ ve $\triangle AFD\sim \triangle BED$ elde edilir. $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{AD}$ ve $\dfrac{BE}{AF}=\dfrac{2\cdot AB}{AF}=\dfrac{BD}{AD}$ eşitliklerini birleştirirsek $AF=2\cdot AC\Rightarrow AC=CF$ çıkar.