Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1

[geo]

$$3p^4 – 5q^4 – 4r^2 = 26$$ denklemini sağlayan birbirinden farklı $p$, $q$, $r$ asal sayılarını bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\pmod 3$  te bakalım.

$\Longrightarrow q^4+2r^2 \equiv 2 \pmod 3$   ;   $q\neq3$   olsun.  $\Longrightarrow q^4 \equiv 1 \pmod 3 \ \ \ \ \Longrightarrow 2r^2 \equiv 1 \pmod 3 \ \ \ \ \Longrightarrow r^2 \equiv 2 \pmod 3 \ \ \ \ \text{çelişki} \ \ \ \ \Longrightarrow q=3$   tür.

$\Longrightarrow 3p^4-4r^2=431$   Bu ifadeye $\pmod5$    te bakalım.

$\Longrightarrow 3p^4-4r^2 \equiv r^2-2p^4 \equiv 1 \pmod 5$     ;   $p\neq5$  olsun.  O zaman Fermattan $p^4 \equiv 1 \pmod 5  \ \ \ \Longrightarrow r^2 \equiv 3 \pmod 5 \ \ \ \text{çelişki} \ \ \ \Longrightarrow p=5$  tir.   

$q=3$ ve $p=5$  i yerine yazarsak $r=19$ bulunur.  Tek çözüm $(5,3,19)$