2025 Makedonya olimpiyatından geometri sorusu (P5- Junior)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$  üçgeninde $M$  noktası $BC$  kenarının orta noktası olmak üzere $(ABM)$  çevrel çemberi $AC$  'yi $P$  noktasında kessin. $(BPC)$  çevrel çemberi $AB$  doğrusuna teğet olsun. $BP$  doğrusu $(ABC)$ 'yi ikinci kez $E$  noktasında kesiyorsa $BE:BP$  oranını bulunuz.

[geo]

$\angle ACB =\angle ABP = \angle ACE$
$\angle MAP =\angle MBP=\angle CAE$.
$AMCE$ dörtgeni bir deltoittir.
$BM=MC=CE$. $\triangle BCE$ de açıortay teoreminden $BP:PE=2:1$. Sonuç olarak $BE:BP=3:2$.