Fonksiyonel Denklem

[alpercay]

Pozitif reel sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu için  $(f (x))^2=f (2x)+2f (x)+\dfrac 12$   ve $f(1)=2$ ise  $f (3)=?$

Apotemi yayınlarından hatalı bir fonksiyon sorusu.

[Metin Can Aydemir]

Bir bağıntı tanımlayalım. $$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^+:\exists k\in\mathbb{Z},\quad x=y\cdot 2^k\}.$$ Şimdi bu bağıntının denklik bağıntısı olduğunu gösterelim (equivalence relation).

• Her $x\in\mathbb{R}^+$ için $(x,x)\in R$'dir.
• Eğer $(x,y)\in R$ ise $(y,x)\in R$'dir.
• Eğer $(x,y),(y,z)\in R$ ise $(x,z)\in R$'dir.

Bu şartlar doğru olduğundan $R$ bir denklik bağlantısıdır. Verilen fonksiyonel denklem, sadece $f(x)$ ve $f(2x)$ değerlerini kullandığından, önceden bilinen bir $x_0$ için $x_0$'ın denklik sınıfındaki değerleri verecektir. Örneğin, $f(1)=2$ bilindiğinden sadece $1$'in denklik sınıfından değerleri bulabiliriz. $\dots,\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,\dots,$ değerlerini bulabiliriz ancak $3$, bu denklik sınıfında olmadığından onu bulamayız. Yani, $f(3)=2$ de olabilir, $3$ de olabilir, başka değerler de olabilir. Sanırım, $f(2x)=(f(x)-1)^2-3/2$ olduğundan $-\frac{3}{2}$'den büyük her değer olabilir.

Soruyu doğru hala getirebilmek için ya $f(3)$ yerine $1$ ile aynı sınıfta olan bir sayıyı sormak lazım, ya da farklı sınıflar arasında ilişki kurmamızı sağlayan bir koşul lazım (süreklilik koşulu gibi).

[alpercay]

Teşekkürler Metin hocam. Hatalı çözümü de verelim:

$f(x+y)=f(x)f(y)-[f(x)+f(y)]-1/2$  denklemini göz önüne alalım.

Eğer  bu fonksiyonel denklemde $y=x$ alırsak bize verilen fonksiyonel denklemi elde ederiz.  Buna göre $x=y=1$ alırsak $f(2)=-1/2$ bulunur. Yine bu denklemde $x=1, y=2$ alınırsa $f(3)=-3$

bulunur.

Bu yanıtın yanlış olduğunu hızlıca şöyle görebiliriz: $f(3)=-3$ olsun. $f(4)$ değeri çözümde kullanılan fonksiyonel denklemden hesaplanırsa $f(4)=-11/2$, fakat soruda verilen fonksiyonel denklemden hesaplanırsa $f(4)=3/4$ bulunur.

Soruda verilen $f(2x)$ fonksiyonel-denkleminden çözümde kullanılmış olan$f(x+y)=f(x)f(y)-[f(x)+f(y)]-1/2$ denklemi elde edilemiyorsa, $f(x+y)$ denklemini kullanamamız doğru olmaz. $f(2x)$ denkleminin her çözümü $f(x+y)$ denklemini sağlar fakat bunun tersinin olacağının bir garantisi yok. Yani $f(2x)$ denkleminin çözümleri $f(x+y)$ denkleminin çözümlerinin alt kümesidir; $f(x+y)$ denkleminden $f(2x)$ elde edilebiliyor fakat $f(2x)$ den $f(x+y)$ elde edilemiyor, dolayısıyla verilen çözümde yanlış yönde gidilmiş. Bir $a>0$ sayısı ve bir $n$ tamsayısı için eğer $f(a)$ değeri biliniyorsa verilen fonksiyonel-denklemden $f(a. 2^n)$ biçimindeki değerleri $(f(2x),f(4x),...\text{gibi})$ bulabiliriz, dolayısıyla $f(1)=3$ verisi bize $f(3)$ değerini bulduramaz.

$f(2x)=(f(x)-1)^2 - 3/2$ ve $g(x) =f(x) - 1$ dersek denklem $g(2x)=g^2(x)- 5/2$ şeklinde yazılabilir. Fonksiyonel denklem $f(x)\ge  3/2$ için

$f(x/2)=1+\sqrt{f(x) +3/2}$ olarak da yazılabilir.