EŞİTSİZLİK 162

[MATSEVER 27]

$a+b+c=3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c \in \mathbf{R^+}$ sayıları için;
$$\frac{a^5+a^4+a^3}{a^3+b^2+c}+\frac{b^5+b^4+b^3}{b^3+c^2+a}+\frac{c^5+c^4+c^3}{c^3+a^2+b} \ge 3$$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Birkaç önerme kullanacağız.
Önerme $1$
$a^3+b^3+c^3\geq 3(ab+ac+bc)-6abc$ dir.

İspat
 $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-3abc$ özdeşliğinden $\sum a+b=3-c$ dönüşümü yapılırsa, verilen ifade elde edilir.

Önerme 2 
$\sum a^2+a+1=\sum a^2+b+1\geq 3$

İspat $A.G.O$'dan $a^2+b^2+c^2\geq 3 $ elde edilir. Bu eşitlik $a+b+c\geq 3$ eşitliği ile toplanırsa verilen ifade elde edilmiş olur.


Önerme 3

$\dfrac{1}{a^3+b^2+c}\leq\dfrac{1}{b^3+c^2+a}\leq\dfrac{1}{c^3+a^2+b}$ dir.

İspat
Genelliği bozmadan. $a\geq b \geq c$ kabul edelim.
Simetrik şekilde,
$b^3+c^2+a\leq a^3+b^2+c$ ifadesinin doğru olabilmesi için,$ 3ab(a-b)+(b-c)(b+c)+(c-a)\geq 0 $ olması gerekir ki zaten $a\geq b\geq c$ kabul etmiştik .

Chebyshev Eşitsizliğinden $a^3+b^2+c\geq \dfrac{(a+b+c)(a^2+b+1)}{3}$dir. O zaman

$\sum \dfrac{a^3(a^2+a+1)}{a^3+b^2+c}\geq 3$ elde edilir.İspat biter .


Hatalı yer varsa düzeltin.iyi çalışmalar.(dediğiniz ifadenin kanıtından emin değilim )

[MATSEVER 27]

Chebyshev eşitsizliği için $a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_n$ ve $b_1 \ge b_2 \ge \ldots \ge b_n$ için $a_1.b_1+a_1.b_1+\ldots+a_1.b_1 \ge \dfrac{1}{n}(a_1+a_2+\ldots+a_n)(b_1+b_2+\ldots+b_n)$ sağlanır. Yön burada önem taşır. O halde soruda şunu ispatlamak zaruridir: $a \ge b \ge c$ için $$\dfrac{1}{a^3+b^2+c} \le  \frac{1}{b^3+c^2+a} \le \frac{1}{c^3+a^2+b}$$
bunun kanıtlanması gerekir. Kolay gelsin....

[Eray]

Yeri gelmişken belirtmek isterim ArtOfMathSolving bey. Chebyshev Eşitsizliğini kullanmak için Matsever beyin belirttiği eşitsizliklerin aynı anda sağlanması gerekir. Ancak çözüm yaptığınız birçok eşitsizlik sorusunda buna dikkat etmediğiniz kanaatindeyim
İyi çalışmalar dilerim

[ArtOfMathSolving]

Evet haklısınız , Sanırım diğer sorulara da Belirttiğiniz eşitsizlik kısımlarını da eklemek lazım. Belirttiğiniz için teşekkür ederim .