Son İletiler91
2025 / Ynt: Tübitak Lise 2. Aşama 2025 Soru 3
« Son İleti Gönderen: Metin Can Aydemir Aralık 23, 2025, 12:13:43 ös »$x=-a$ yazarak başlarsak, $f^{101}(y)=y+f^{2025}(-a)+b$ elde ederiz. $f(y_1)=f(y_2)$ ise $y_1=y_2$ olması gerektiği barizdir, yani fonksiyon birebirdir. Ayrıca herhangi bir $z\in \mathbb{R}$ için $y=z-b-f^{2025}(-a)$ alınırsa, fonksiyonun örten olduğu da görülebilir. Yani fonksiyon birebir ve örtendir, tersi vardır.
Fonksiyon birebir ve örten olduğundan $f^{100}(y_0)=-a$ olacak şekilde bir $y_0$ vardır. Dolayısıyla, $$f(x)=f^{2025}(x)+y_0+b$$ elde edilir. $c:=f^{2025}(-a)+b$ dersek, $$f^{2025}(x)=f^{1924}(x)+c=f^{1823}(x)+2c=\cdots=f^{5}(x)+20c$$ elde edilir, yani $f^5(x)=f(x)+d$, ve $f$ birebir örten olduğundan, $f^4(x)=x+d$ olacak şekilde bir $d$ sabiti vardır ($d:=-20c-y_0-b$). $$f^{101}(x)=f^{97}(x)+d=f^{93}(x)+2d=\cdots=f(x)+25d$$ elde edilir. $f^{101}(x)=x+c$ olduğundan $f(x)=x+t$ formatında lineer olmalıdır. Dolayısıyla, $f^k(x)=x+kt$ olacaktır. Yerine koyarsak, $$x+y+100t+a+t=y+x+2025t+b\implies t=\frac{a-b}{1924}$$ edilir. Yani şartları sağlayan tek fonksiyon $f(x)=x+\frac{a-b}{1924}$'dür.
Fonksiyon birebir ve örten olduğundan $f^{100}(y_0)=-a$ olacak şekilde bir $y_0$ vardır. Dolayısıyla, $$f(x)=f^{2025}(x)+y_0+b$$ elde edilir. $c:=f^{2025}(-a)+b$ dersek, $$f^{2025}(x)=f^{1924}(x)+c=f^{1823}(x)+2c=\cdots=f^{5}(x)+20c$$ elde edilir, yani $f^5(x)=f(x)+d$, ve $f$ birebir örten olduğundan, $f^4(x)=x+d$ olacak şekilde bir $d$ sabiti vardır ($d:=-20c-y_0-b$). $$f^{101}(x)=f^{97}(x)+d=f^{93}(x)+2d=\cdots=f(x)+25d$$ elde edilir. $f^{101}(x)=x+c$ olduğundan $f(x)=x+t$ formatında lineer olmalıdır. Dolayısıyla, $f^k(x)=x+kt$ olacaktır. Yerine koyarsak, $$x+y+100t+a+t=y+x+2025t+b\implies t=\frac{a-b}{1924}$$ edilir. Yani şartları sağlayan tek fonksiyon $f(x)=x+\frac{a-b}{1924}$'dür.
