1
Bu fonksiyonun sürekli olduğu aralık $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$. Burada şunu not düşmek lazım, bir fonksiyonun süreklilik, artanlık, konvekslik vs. gibi özelliklerinde aralıkları birleştirmemek çok önemlidir (bazı durumlarda sıkıntı çıkarmayabilir ama risklidir). Bunu basit bir örnekle gösterelim.
Artanlık/Azalanlık: $D\subseteq \mathbb{R}$ bir küme olsun. Eğer her $x,y\in D$ için $x\geq y\implies f(x)\geq f(y)$ ise $f$ fonksiyonu $D$ kümesinde artandır, eğer $x\geq y\implies f(x)\leq f(y)$ ise azalandır.
Şimdi şu örneğe bakalım: $$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{eğer }x\leq 0\\ 1-x&\text{eğer }x>0\end{cases}.$$ Bu fonksiyon $(-\infty,0]$ aralığında da $(0,\infty)$ aralığında da azalandır ancak $(-\infty,\infty)$'de azalan değildir çünkü $f(0)<f(1/2)$'dir. Bu yüzden aralıkları birleştirmemek gerekir.
Bu örnekte de dolayısıyla, $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$ aralıkları ayrı ayrı incelenmelir. Bize verilen aralık, yani $[-1/6,0)$ ve $(0,3]$ aralıklarında fonksiyonun görüntüleri $(-\infty,-6]$ ve $[1/3,\infty)$'dir. Dolayısıyla, fonksiyonun alamayacağı tamsayı değerleri $-5,-4,-3,-2,-1,0$'dır. Diğer tüm tamsayı değerlerini alabilir.
Alabileceği değerlerin toplamı doğru bir soru olmaz çünkü toplam ıraksar, alamayacağı değerlerin toplamını sorarsak da $-15$ buluruz.
2
« Son İleti Gönderen: alpercay Dün, 02:48:00 ös »
$f:\mathbb{R}-\{0\} \to \mathbb{R}-\{0\} $ $f(x) =\dfrac{1}{x}$ şeklinde tanımlı $f$ fonksiyonunda $x\in [-1/6,3]-\{0\}$ olmak üzere fonksiyonun bu aralıkta alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulunuz. Yanıt $- 21$ Kaynak:MEB 10.sınıf matematik kitabı syf:248 Benzer bir soruya yapılan bir çözüm (31.dk) https://youtu.be/PYazLsnE4vc?si=xAtUELQCgsrASRb3
3
« Son İleti Gönderen: geo Mart 01, 2026, 12:44:19 ös »
Çözüm için teşekkürler.
Sorunun daha genel halini şöyle ifade edebiliriz:
$ABC$ ikizkenar üçgeninde ($A,B,C$ sırasıyla saat yönünde ve $BA=BC$) olmak üzere; $O$ çevrel merkez ve $R$ de çevrel yarıçap olsun. $O$ merkezli $r$ yarıçaplı çember üzerinde bir $P$ noktası alalım. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $\angle CBA$ kadar döndürülmesiyle $P'$ noktası elde edilsin. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = \dfrac {2 + 2\cos \angle CBA}{\left | 1 - \dfrac {r^2}{R^2} \right |}$ olduğunu gösteriniz.
4
« Son İleti Gönderen: Lokman Gökçe Şubat 26, 2026, 04:02:43 ös »
Payda sıfırlandığı için bu soru iptal edilmiştir. Sorunun yazarı bunu bilemeyecek kadar matematiğe uzak olamazdı elbette. Bu sorunun başına ne geldiği benim için de bir merak konusuydu. Fakat soruyu da toparlayamıyordum. ChatGPT 5.2 Thinking modelinden bu gizemi aydınlatmasını istedim. Burada küçücük bir harf yazımı hatası vardır ve onu düzeltirsek soru kurtuluyormuş. YZ'nin düzeltmesini ve yanıtını sunuyorum:
Düzeltilmiş Versiyon: $a_1 = \sqrt 7$ ve $i \geq 1$ için $b_i = \lfloor a_i \rfloor$, $a_{i+1} = \dfrac 1{a_i - \lfloor b_i \rfloor}$ olsun. $b_n$ nin $4$ e bölünmesini sağlayan $2004$ ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?
$ \textbf{a)}\ 2005 \qquad\textbf{b)}\ 2006 \qquad\textbf{c)}\ 2007 \qquad\textbf{d)}\ 2008 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $
Yanıt: $\boxed{A}$
Çözüm: Sorunun ana motivasyonu sürekli kesirler kavramıdır. $a_1=\sqrt7$ için $b_1=\lfloor \sqrt7\rfloor=2$ ve
$a_2=\dfrac{1}{\sqrt7-2}=\dfrac{\sqrt7+2}{3}$ olur. Buradan $b_2=\left\lfloor\dfrac{\sqrt7+2}{3}\right\rfloor=1$ olur.
Devam edelim:
$a_3=\frac{1}{a_2-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+2}{3}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-1}{3}}
=\frac{3}{\sqrt7-1}
=\frac{\sqrt7+1}{2}$ olur ve dolayısıyla $b_3=1$.
$a_4=\frac{1}{a_3-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+1}{2}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-1}{2}}
=\frac{2}{\sqrt7-1}
=\frac{\sqrt7+1}{3}$ olur ve dolayısıyla $b_4=1$.
$a_5=\frac{1}{a_4-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+1}{3}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-2}{3}}
=\frac{3}{\sqrt7-2}
=\sqrt7+2$ ve buradan $b_5=\lfloor \sqrt7+2\rfloor=4$.
Ayrıca $a_6=\frac{1}{a_5-\lfloor a_5\rfloor}
=\frac{1}{(\sqrt7+2)-4}
=\frac{1}{\sqrt7-2}
=\frac{\sqrt7+2}{3}
=a_2$. Demek ki dizi $a_2$'den itibaren periyodiktir ve $(b_2,b_3,b_4,b_5)=(1,1,1,4)$ dört adımda tekrar eder. Bu nedenle $b_n=4$ ancak ve ancak
$n\equiv 1 \pmod 4$ iken (ve $n\ge 5$) gerçekleşir. $2004\equiv 0\pmod4$ olduğundan $2004$'ten büyük ve $1 \pmod4$ olan en küçük tam sayı $2005$'tir.
5
« Son İleti Gönderen: Lokman Gökçe Şubat 26, 2026, 03:28:29 ös »
Bu soru iptal edilmiştir ama, uzun yıllar sonra bugün tekrar baktığımda artık iptal edilme gerekçesi göremiyorum. Soru çözülebiliyor ve cevabı seçeneklerde var gibi ... Yanıt: $\boxed{B}$ Toplam dışbükey çokgen sayısı $S$ olsun. Beş noktayı $A, B, C, D, E$ ile gösterelim. Herhangi üçü doğrusal olmayan $5$ nokta daima $\binom{5}{3}=10$ tane üçgen oluşturabilir. $S\geq 10$'dur. Dışbükey dörtgen ve beşgen sayılarını en az tutmaya çalışmalıyız. $5$ noktanın dışbükey örtüsüne-iskeletine (İng: convex hull) bakalım. Eğer dışbükey beşgen varsa, tam $5$ tane de dışbükey dörtgen vardır. $S = 10 + 5 + 1 = 16$ olur. O halde dışbükey örtü bir dörtgen olsun. İç bölgede $2$ tane daha dışbükey dörtgen oluşur. $S = 10 + 3 = 13$ olur.  Şimdi de dışbükey örtünün üçgen olduğu durumu ele alalım. Bu halde de zorunlu bir dışbükey dörtgen oluşur. $S=10+1=11$ olur. Tüm bu durumlarda oluşabilecek dışbükey çokgen sayısı en az $S_{\min} = 11$ bulunur.
6
« Son İleti Gönderen: diktendik Şubat 21, 2026, 11:41:19 ös »
Öncelikle şunu düşünmeliyiz, eşkenar üçgen için iç teğet çember ve çevrel çember merkezleri çakışık olduğundan iç teğet çemberin üzerindeki herhangi bir noktanın çevrel çembere göre kuvveti sabittir ve eşkenar üçgenin bir kenarı $2$ ise bu kuvvet değeri $1$'dir. ($O,A$ ve teğet noktasından $30-60-90$) $CP\cap AP'=K$ olsun. $\angle{CPB}=x$ ise $\angle AP'P=x-60°$ olup $\angle P'PB=x+60°$ olduğundan $\angle PKP'=120°$'dir. $\angle AKC=60°$ olduğundan $K$ cevrel çember üzerindedir ve $P$'nin kuvveti $1$ olduğundan $CP=a$ ise $PK=\frac{1}{a}$'dır. $P$'den $AP'$ doğrusuna inen dikme ayağı $H$ ise $\angle AKC=60°$ olduğundan $PH=\frac{1}{a}\cdot \frac{\sqrt3}{2}$ olup $APP'$ üçgeninin alanı $\frac{\sqrt3}{4}$ olup üçgeninin alanı $\sqrt3$ birimkare olduğundan ispat biter.
7
« Son İleti Gönderen: geo Şubat 21, 2026, 01:42:48 ös »
$ABC$ eşkenar üçgen ($A$, $B$, $C$ sırasıyla saat yönünde) ve $P$ bu üçgenin iç teğet çemberi üzerinde bir nokta olsun. $P$ nin $B$ nin etrafında saat yönünde $60^\circ$ döndürülmesiyle $P'$ noktası elde ediliyor. $\dfrac {\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle APP')} = 4$ olduğunu gösteriniz.
8
« Son İleti Gönderen: geo Şubat 21, 2026, 12:03:48 ös »
$BC=a$, $\angle APC = \beta$ olduğunda, $APC$ nin çevrel merkezi ile $ABC$ nin iç merkezi üzerinden Stewart uygulandığında, $BP = \dfrac {a}{2} \sqrt {\dfrac {1 - 3\sqrt 3 \cot \beta}{1 - \sqrt 3 \cot \beta }}$ elde ediliyor.
$\beta = 120^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt 2}{2}$.
$\beta = 150^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {10}}{4}$.
$\beta = 135^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {4 - \sqrt 3}}{2}$.
$\beta = 165^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {1 + \sqrt 3}}{2}$.
$\beta = 105^\circ$ için $BP = \dfrac {a\sqrt {10 - 2\sqrt 3}}{4}$.
9
« Son İleti Gönderen: geo Şubat 21, 2026, 11:34:55 öö »
Çözüm için teşekkürler. Son adımda $\triangle PBO_2$ de, $PO$ nun kenarortay olmasından dolayı, kenarortay teoreminden de hızlıca sonuca gidebiliriz. Bunun haricinde bu soru için aşağıdaki sorular da sorulabilir: - $2|AP - CP| = BP \cdot \sqrt 2 = BC$
- $AP<CP$ durumunda $AP:BP:CP = \sqrt 5 - 1 : 2\sqrt 2 : \sqrt 5 + 1$
10
« Son İleti Gönderen: geo Şubat 19, 2026, 11:31:10 ös »
$D$ den geçen ve $BC$ ye dik olan doğru ile $AC$, $E$ de kesişsin.
$BE=EC$, $\angle ABE =\angle AEB =2\theta$ ve $AB=AE$.
$\triangle ABD$ ve $\triangle AED$ de Sinüs Teoreminden $\sin \angle ABD = \sin \angle AED$.
$\sin 3\theta = \sin (90^\circ+\theta)$ denkleminden $2\theta =90^\circ$ ya da $4\theta = 90^\circ$ olur. $4\theta<180^\circ$ olduğu için de tek cevap $\theta =22.5^\circ$.
|
Son İletiler