Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 35

[geo]

$p$ asal ve $n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $(1+p)^n = 1+pn+n^p$ eşitliğini sağlayan kaç $(p, n)$ sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$p>2$ için $p$ tek sayı olacağı için sol taraf her zaman çift, sağ taraf da her zaman tek sayı olacaktır. O halde buradan çözüm gelmez.

$p=2$ için denklem $3^n = 1 + 2n + n^2 = (n+1)^2$ ye dönüşüyor. $f(n) = 3^n - (n+1)^2$ fonksiyonu $n>2$ den sonra her zaman pozitif olacağı için denememiz gereken iki $n$ değeri kalıyor: $n=2$ ve $n=1$. Bu durumda sadece $(p,n)=(2,2)$ çiftinin çözüm olduğu kolayca görülebilir.