Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 12

[alpercay]

$100$ öğrenci, öğleden önce $50$ tane ikili grup halinde ve öğleden sonra da, yine $50$ tane ikili grup halinde ders çalışıyorlar. Öğleden önceki ve sonraki gruplar nasıl oluşturulursa oluşturulsun, herhangi ikisi gün boyunca hiç birlikte çalışmamış $n$ öğrenci bulunabiliyorsa, $n$ sayısı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 42
\qquad\textbf{b)}\ 38
\qquad\textbf{c)}\ 34
\qquad\textbf{d)}\ 25
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[kombinatorist]

Yanıt: $\boxed{E}$

Öğrenciler $a_{1},a_{2}, \cdots,a_{100}$ olsun.
İlk gruplar $(a_{1},a_{2}),(a_{3},a_{4}),\cdots,(a_{99},a_{100})$ olsun.(Temsili olarak.)
Yine ikinci gruplarda temsili olarak $(a_{1},a_ {100}),(a_{2},a_{99}),\cdots,(a_{50},a_{51})$ olsun. Şimdi gün boyunca birbiriyle hiç çalışmamış $50$ tane öğrenci alınabileceğini gösterelim.

İkinci gruplandırmaya göre ilk ikiliden $a_{1}$'i alalım.İkinciden $a_{2}$ alınamaz çünkü ilk başta çalıştılar dolayısıyla $a_{99}$'u alalım.Üçüncüden $a_{3}$'ü alalım ve bu şekilde almaya devam edelim her gruptan her zaman bir kişi alınabileceği aşikar dolayısıyla $50$ grupta olduğunu varsayarsak $50$ tane birbiriyle hiç çalışmamış öğrenci bulunabilir. Ayrıca bu soru çizgeler yardımıyla da çözülür.