Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 08

[alpercay]

$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin birbirinden farklı ve biri diğerini içeren iki alt kümesi kaç farklı biçimde seçilebilir?

$
\textbf{a)}\ 2059
\qquad\textbf{b)}\ 2124
\qquad\textbf{c)}\ 2187
\qquad\textbf{d)}\ 2315
\qquad\textbf{e)}\ 2316
$

[geo]

$\subseteq$ ile $\subset$ gösterimlerini ayırırsak, bizden istenen $\emptyset \subseteq X \subset Y \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7\}$ olacak şekilde $(X,Y)$ ikililerinin sayısı.
$\emptyset \subseteq X \subseteq Y \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7\}$ ikililerinin sayısı $A$ olsun.
$\emptyset \subseteq X = Y \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7\}$ ikililerinin sayısı $B$ olsun.
$\emptyset \subseteq X \subset Y \subseteq \{1,2,3,4,5,6,7\}$ ikililerinin sayısı $A-B$ dir.

$A$ sayısını hesaplayalım:
$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin her elemanı $X$, $Y\setminus X$, $\{1,2,3,4,5,6,7\} \setminus Y$ kümelerinden birine ait olmalı. O halde $A=3^7$.

Benzer şekilde $B$ sayısı için,
$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin her elemanı $X=Y$, $\{1,2,3,4,5,6,7\} \setminus X$ kümelerinden birine ait olmalı. O halde $B=2^7$.

Aradığımız cevap $3^7-2^7 = 2187 - 128 = 2059$.