Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 34

[ERhan ERdoğan]

$n\geq 2012$ olmak üzere, $1\cdot 2^{1}+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+\cdots+n\cdot 2^{n}$ sayısının $10$ ile bölünmesini sağlayan en küçük $n$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 2012
\qquad\textbf{b)}\ 2013
\qquad\textbf{c)}\ 2014
\qquad\textbf{d)}\ 2015
\qquad\textbf{e)}\ 2016
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$S = (2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n) + (2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) + \cdots + (2^{n-1} + 2^n) + 2^n $

$S = (2^{n+1} - 2^1) + (2^{n+1} - 2^2) + \cdots + (2^{n+1} - 2^{n-1}) + (2^{n+1} - 2^n)$

$S = n\cdot 2^{n+1} - (2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n) = n\cdot 2^{n+1} - (2^{n+1}-2) = (n-1)2^{n+1}+2$

$(n-1)2^{n+1} \equiv 8 \pmod {10}$ denkliğini $2011$ den sonra sağlayan ilk $n$  tam sayısı $n=2013$ tür.