Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

Tüm $x$ gerçel sayıları için,  $\sin x\cos x\leq C\left ( \sin ^{6}x+\cos ^{6}x \right )$  olmasını sağlayan en küçük $C$ gerçel sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$2\sin x\cos x\leq 2C(\sin^{6}x+\cos^{6}x) $

$ \sin 2x\leq 2C((\sin^{2}x)^3+(\cos^{2}x)^3)$

$ \sin 2x\leq  2C(\sin^2x+\cos^2x)((\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x)$

$ \sin 2x\leq  2C(1)((1)^2-3\sin^2x\cos^2x)$

$ \sin 2x\leq  2C(1-\frac34\sin2x)$

$ \sin 2x\leq   1 \leq \frac{4C}{2+3C} \Rightarrow 2 \leq C$.