(Mehmet Utku Özbek)
$p$ asal ve $p=a^2+b^2=c^2+d^2$ olsun.
$a^2d^2-b^2c^2=a^2d^2+b^2d^2-b^2d^2-b^2c^2=d^2(a^2+b^2)-b^2(c^2+d^2)=(d^2-b^2)\cdot p \ \ \ \Longrightarrow (ad+bc)(ad-bc)=(d^2-b^2)\cdot p \ \ \ \Longrightarrow p \ | \ ad+bc $ veya $p\ | \ ad-bc$
Şimdi $p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2$ yazabiliriz. Eğer $p\ | \ ad+bc$ ise $p \ | \ ac-bd$ dir. Yani $p \ | \ ac-bd$ veya $p\ | \ ad-bc$ dir.
$p \ | \ ac-bd$ alalım. ($p\ | \ ad-bc$ de alabiliriz fark etmez) $p=a^2+b^2=c^2+d^2$ olduğu için $\sqrt{p} \gt a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$ diyebiliriz. O zaman $p \gt ac$ olur. Yani $ac-bd=0$ olması gerekiyor.
$\Longrightarrow ac=bd \ \ , \ \ p$ asal olduğu için $(a,b)=1$ dir. Aynı şekilde $(c,d)=1$ dir. $a \ | \ d$ olsun. ($d \ | \ a$ da olabilirdi fark etmez.)
$\Longrightarrow d=a\cdot k \ \ , \ \ c=b\cdot k$
$\Longrightarrow p= a^2+b^2=c^2+d^2=b^2k^2+a^2k^2=(a^2+b^2)k^2 \Longrightarrow \ k=1 \ \ \Longrightarrow a=d \ \ , \ \ b=c$ ÇELİŞKİ.
O zaman $p$ bileşik sayıdır. İspat biter.
