$n=1$ için $$0<\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(1)<2\Rightarrow \prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(1)=1$$ olur. Fonksiyon pozitif tamsayılardan pozitif tamsayılara tanımlandığından $f(1)=1$ olmalıdır. $f(n)=n$ olduğunu tümevarım ile gösterelim. $n=1$ için doğru olduğunu gösterdik. $n=1,2,\dots,k-1$ için $f(n)=n$ sağlasın. $f(k)=k$ olduğunu gösterelim. Aksini kabul edelim.
$i)$ $f(k)<k$ ise $f(k)=i$ için $f(f(k))=f(i)=i$ olur. Benzer şekilde $(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{\ell \text { tane }})(k)=i$ olur. $\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(k)=i^{2020}$ olur. Soruda verilen eşitsizlikten $$(k-1)^{2020}<\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(k)=i^{2020}\leq (k-1)^{2020}$$ olur. Çelişki.
$ii)$ $f(k)>k$ ise herhangi bir $t$ için $(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{t})(k)<k$ değilse $f(k)\geq k+1$ olduğundan $$\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(k)\geq(k+1)\cdot k^{2019}=k^{2020}+k^{2019}$$ olur fakat $\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(k)<k^{2020}+k^{2019}$ olduğundan çelişki elde edilir. Dolayısıyla öyle bir $t$ pozitif tamsayısı vardır ki $(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{t})(k)<k$ olsun. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük $t$'yi ele alalım. $(\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{t-1})(k)=m$ olsun. $k\leq m$ fakat $f(m)=f_{t}(k)<k\leq m$ ve dolayısıyla $f(m)\leq m-1$ olur. Ana eşitsizlikte $n=m$ için $$(m-1)^{2020}<\prod_{\ell=1}^{2020} f_{\ell}(m)\leq (m-1)^{2020}$$ olur. Çelişki. Dolayısıyla tümevarımla göstermiş olduk ki her $n$ pozitif tamsayısı için $\boxed{f(n)=n}$ olmalıdır.
