Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 31

[Dogukan6336]

$ \left| AB\right| = \left| AC\right|$  olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin $AC$ kenarına $A$ noktasında teğet ve $B$ noktasından geçen, merkezi üçgenin dışında olan bir çember çiziliyor. Bu çember $BC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $ 2\left| BE\right| = 3\left| EC\right|$ ve $ABC$ üçgeninin alanı $27$ ise çemberin yarıçapı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac {9} {2}  \qquad \textbf{c)}\ 5  \qquad \textbf{d)}\ \dfrac {23} {4}  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Dogukan6336]

Yanıt: $\boxed C$

$\left| EC\right|=4k$ diyelim. Kuvvetten $\left| AC\right|^2 = \left| CE\right|.\left| CB\right| = 40k^2$ bulunur. $\dfrac {2\sqrt {10}.3\sqrt {10}.k^{2}} {2} = 27$ eşitliğinden $k^2=\dfrac {27} {30}$ bulunur. $ABC$ ikizkenar üçgen olduğundan dikmesi indirilerek $cos\widehat {C} = \dfrac {1} {\sqrt {10}}$ olacaktır. $AEC$ üçgeninde kosinüs teoremi ile $\left| AE\right|= 2\sqrt {10}k$ olarak bulunur. Alan paylaşımından $A(AEB) = \dfrac {81} {5}$ olur. Çizilen çember, $AEB$ üçgeninin çevrel çemberidir. $AEB$ üçgeninin kenarları çarpımı $81$ olduğundan, çemberin yarıçapına $r$ dersek

$\dfrac {81} {r} = \dfrac {81} {5}$

eşitliğinden $r=5$ bulunur.