Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 28

[ERhan ERdoğan]

Tabanı $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}$ $7$-geni olan bir piramidin her ayrıtının kırmızı ve mavi renklerden birine, bu piramidin her köşesinden herhangi bir diğer köşesine hem sadece kırmızıya boyalı hem de sadece maviye boyalı ayrıtlar takip edilerek ulaşılabilecek şekilde boyanmasına iyi boyama diyelim. Kaç iyi boyama vardır?

$
\textbf{a)}\ 218
\qquad\textbf{b)}\ 234
\qquad\textbf{c)}\ 252
\qquad\textbf{d)}\ 298
\qquad\textbf{e)}\ 324
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Cevap: $252$.
Taban dışındaki kenarların boyama sayısı $2^7$. Bir iyi boyamada bu yedi kenarın tümü kırmızı, veya tümü mavi olamaz: $2^7-2$. Piramidin tepe noktası $O$ olmak üzere, genelliği bozmadan $\left[O A_i\right]$ kırmızı, $\left[O A_{i+1}\right]$ mavi renge boyanmış olsun. $\left[A_i A_{i+1}\right]$ kenarını herhangi bir renge boyayalım, bu renk de genelliği bozmadan mavi olsun. O zaman $\left[A_{i+1} A_{i+2}\right]$ kenarı kırmızı renge boyanma zorunda olacaktır. Benzer şekilde devam edersek diğer taban kenarların da tek türlü boyanma zorunda olacaklarını göreceğiz. Demek ki iyi boyama sayısı $2\left(2^7-2\right)=252$ dir.

Kaynak: Tübitak 23. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2015