Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1959 Soru 3

[ERhan ERdoğan]

$a,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere, $$a\ \cos^{2}x+b\ \cos{x}+c=0$$ denklemi $\cos{x}$ e göre ikinci dereceden bir denklem olsun. $a,b,c$ sayılarını kullanarak kökleri başlangıçtaki denklemle aynı olan $\cos2x$ e göre ikinci dereceden bir denklem oluşturunuz. $a=4 , b=2 , c=-1$ değerleri için $\cos x$ ve $\cos 2x$ türünden olan denklemleri karşılaştırınız.

[Lokman Gökçe]

$\cos2x=2\cos^2x-1$ özdeşliğini biliyoruz. $a\cos^2x + b\cos x + c=0$ denkleminin iki kökü $y_1=\cos x_1$, $y_2=\cos x_2$ olsun. Oluşturmak istediğimiz ikinci dereceden denklemin kökleri de $\cos 2x_1$ ve $\cos 2x_2$ olmalıdır.

Vieta formüllerinden $y_1+y_2=-\dfrac ba$, $y_1y_2=\dfrac ca$ ve

$y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1 y_2 = \dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac {2c}{a} = \dfrac{b^2-2ac}{a^2}$ dir.

Diğer taraftan $a\cos^2 2x + b\cos 2x + c=0 $ denklemi için

Kökler toplamı $\cos 2x_1 + \cos 2x_2 = 2y_1^1 - 1 + 2y_2^2-1= 2(y_1^2+y_2^2)-2 = \dfrac{2b^2 - 4ac - 2a^2}{a^2}$

Kökler çarpımı $\cos 2x_1 \cdot \cos 2x_2 = (2y_1^1 -1)(2y_2^2-1) =4(y_1y_2)^2 -2(y_1^2+y_2^2)+1 = \dfrac{4c^2 -2b^2 + 4ac + a^2 }{a^2} $

olur. Buna göre aranan denklem $$a^2 \cos^2 2x + (-2b^2 + 4ac + 2a^2)\cos x + (4c^2 -2b^2 + 4ac + a^2)=0 $$ dir.

Şimdi $ a=4,b=2,c=-1$ değerlerini $$ \begin{array}{rcr}
a\cos^2x + b\cos x + c& = & 0 \\
a^2 \cos^2 2x + (-2b^2 + 4ac + 2a^2)\cos x + (4c^2 -2b^2 + 4ac + a^2) & = & 0
\end{array} $$

denklemlerinde yazarsak

$$ \begin{array}{rcr}
4\cos^2x + 2\cos x -1 & = & 0 \\
16 \cos^2 2x + 8\cos x -4 & = & 0
\end{array} $$

elde edilir. İlginç bir durum olarak bu denklemler birbirinin aynıdır. Dolayısıyla ilk denklemin çözümü olan her $x$ açısının iki katı hem ilk denklemin, hem de ikinci denklemin çözümüdür. $4\cos^2x + 2\cos x -1 = 0 $ denkleminin kökleri $\cos x = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ ve $\cos x = \dfrac{-\sqrt5 - 1}{4}$ tür. Buradan $x$ açılarını derece türünden bulabiliriz. $\cos 72^\circ=\dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$ ve $\cos 36^\circ=\dfrac{\sqrt5 + 1}{4}$ olduğunu kullanarak $k,t$ keyfi tamsayıları için $x= \pm 36^\circ + 360^\circ \cdot k$ ve  $x= \pm 72^\circ + 360^\circ \cdot t$ tüm çözümleri elde ederiz. Bu çözümleri sağlayan açıların iki katı, hem birinci hem de ikinci denklemin çözümüdür.