Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 31

[matematikolimpiyati]

Bir $f: \mathbb{Q^+} \to \mathbb{R^+}$ fonksiyonu tüm $x$ ve $y$ pozitif rasyonel sayıları için

$f(x)+f(y)-f(x+y)=\dfrac{x^2+xy+y^2}{xy(x+y)}$

eşitliğini sağlıyor. $f(x)$ fonksiyonunun aldığı en küçük değer $1$ ise $f(1)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac54  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac43  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac32  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[vedatde]

$f\left(x\right)+f\left(y\right)-f\left(x+y\right)=\frac{x^2+xy+y^2}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}$ olur.
$\left(f\left(x\right)-\frac{1}{x}\right)+\left(f\left(y\right)-\frac{1}{y}\right)=\left(f\left(x+y\right)-\frac{1}{x+y}\right)$
$g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{x}$ olmak üzere;
$g\left(x\right)+g\left(y\right)=g\left(x+y\right)$
$y=x$ için
$2g\left(x\right)=g\left(2x\right)$
$y=2x$ için
$g\left(x\right)+g\left(2x\right)=g\left(3x\right)$
$g\left(x\right)+2g\left(x\right)=g\left(3x\right)$
$3g(x)=g(3x)$ olur.
$y=kx$ için ise
$kg\left(x\right)=g\left(kx\right)$ bulunur.
$k\left(f\left(x\right)-\frac{1}{x}\right)=f\left(kx\right)-\frac{1}{kx}$ bulunur.
$kx=1$ için;
$k=\frac{1}{x}$ ve
$\frac{1}{x}(f(x)-\frac{1}{x})=f(1)-1$
$f\left(x\right)=\frac{1}{x}+x\left(f\left(1\right)-1\right)$ bulunur.
AM-GM den
$f\left(x\right)=\frac{1}{x}+x\left(f\left(1\right)-1\right)\geq2\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)\left(x\left(f\left(1\right)-1\right)\right)}\ =2\sqrt{f\left(1\right)-1}=1$
$f\left(1\right)-1=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ ve
$f(1)=\frac{5}{4}$ bulunur. ve
$f\left(x\right)= \frac{x}{4}+ \frac{1}{x}$ olur.

[Metin Can Aydemir]

Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 31
Çözüm ektedir.

Çözüm için teşekkürler. Kafama takılan şöyle bir husus var. Fonksiyonu, $a=f(1)-1$  ve her $k\in \mathbb{Z}^+$ için $f(k)=ak+\dfrac{1}{k}$ bulmuşsunuz. Sonrasında AGO eşitsizliğinden $$f(k)\geq 2\sqrt{a}$$ bulmuşsunuz fakat eşitsizliğin sağ tarafı neden $1$'e eşit olmak zorunda? Fonksiyon illaki bir yerde $1$'de eşit olacak ama bunun $k\in \mathbb{Z}^+$ olması halinde sağlandığını bilmiyoruz. Eğer ki eşitliği sağlayan ve minimum değerini $x\in\mathbb{Q}^+-\mathbb{Z}^+$ için alan bir fonksiyon varsa çözümün bu kısmında bir hata olur.

[geo]

$g(x) = f(x) - \dfrac 1x$ olsun.

$$\begin{array}{lcl} f(x)+f(y)-f(x+y) &=& g(x) + \dfrac 1x + g(y) + \dfrac 1y  - g(x+y) - \dfrac 1{x+y} \\ &=& g(x) + g(y) - g(x+y) + \dfrac{x^2+xy+y^2}{xy(x+y)}
\end{array}$$

Buradan da $g(x) + g(y) = g(x+y)$ elde edilir. (bkz.Cauchy Fonksiyonel Denklemi)

İddia: $g(x) = cx$.

İspat:
$$g(2x) = g(x) + g(x) = 2g(x)$$
$$g(3x) = g(2x) + g(x) = 3g(x)$$
$$g(nx) = ng(x) \quad , \forall n \in \mathbb Z^+ \tag {1}$$ 
$(1)$ de $x \rightarrow x/n$ şeklinde değişken değiştirelim $$g(x) = ng \left (\dfrac xn \right ) \tag {2}$$
$(1)$ de $x \rightarrow x/n$ ve $n \rightarrow m$ şeklinde değişken değiştirelim $$g \left (\dfrac mn x \right ) = mg \left ( \dfrac xn \right ) = m\dfrac {g(x)}{n} = \dfrac mn g(x) \tag {3}$$
$q = \dfrac mn \in \mathbb Q^+$ ve $g(1)=c$ olsun. $x=1$ yazarsak $$g(qx) = qg(x)$$ buradan da $$g(q) = qg(1) = qc \Rightarrow g(x) =cx  $$ elde ederiz.

$\blacksquare$

Bu durumda $f(x) = cx + \dfrac 1x$ elde ederiz.
$AO \geq GO$ dan $f(x) = cx + \dfrac 1x \geq 2\sqrt c$ fonksiyonu en küçük değerini $cx = \dfrac 1x \Rightarrow x = \dfrac 1{\sqrt c}$ de alır. $f\left (\dfrac {1}{\sqrt c} \right ) = 2\sqrt c = 1 \Rightarrow c = \dfrac 14$.
$f(x) = \dfrac x4 + \dfrac 1x \Rightarrow f(1) = \dfrac 54$ elde edilir.

[DrLucky]

 $n=m$ ve $q = \dfrac{m}{n} \in \mathbb{Q}^+$ olduğundan $q=1$ olmaz mı?  Bu durumda $$g(qx) = qg(x)$$ buradan da $$g(q) = qg(1) = qc \Rightarrow g(x) =cx  $$ elde ederiz demek doğru mudur?

[geo]

$n=m$ değil de $n \rightarrow m$ dönüşümü yapıyoruz. Belki işareti eşittir olarak kullanmamam daha açıklayıcı olur.