Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 14

[Lokman Gökçe]

$\sqrt n$ sayısının on tabanına göre yazılımında virgülden sonraki ilk iki basamağındaki rakamların $0$ olmasını sağlayan ve tam kare olmayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?
$
\textbf{a)}\ 2602
\qquad\textbf{b)}\ 2501
\qquad\textbf{c)}\ 2305
\qquad\textbf{d)}\ 2026
\qquad\textbf{e)}\ 1601
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\sqrt{n}$ sayısının virgülden sonraki ilk iki basamağındaki rakamların $0$ olmasını gerçekleştiren en küçük $n$ sayısının $k^2+1$, $k\in \mathbf N$ formunda olması gerektiği açıktır (şıklardan da anlaşılabilir).
$\sqrt{k^2+1}=k,00a_1a_2\cdots \Longrightarrow \sqrt{k^2+1}<k,01=k+\dfrac{1}{100}$
Her iki tarafın karesi alınırsa,
$k^2+1<k^2+\dfrac{k}{50}+\dfrac{1}{10000} \Longrightarrow \dfrac{9999}{10000}<\dfrac{k}{50} \Longrightarrow 49,995<k$ elde edilir. Bu şartı gerçekleştiren en küçük $k$ sayısı $50$, dolayısıyla soruda verilen şartı gerçekleştiren en küçük $n$ sayısı $k^2+1=50^2+1=2501$'dir.