Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 16

[geo]

Toplam ağırlığı $500$ kg olan $100$ taştan her birinin ağırlığı $1$ kg, $10$ kg veya $50$ kg dır. Ağırlığı $10$ kg olan taşların sayısının alabileceği kaç değer vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Egemen]

Cevap: $\boxed{B}$

$1$ kg olan taşlar $x$ tane,

$10$ kg olan taşlar $y$ tane,

$50$ kg olan taşlar $z$ tane olsun.

$x+10y+50z=500$,   $x+y+z=100$'dir ve $x$'in $10$'un katı olduğu görülür. $x$ yerine $10k$ yazalım.

$10k+10y+50z=500$  ve  $2k+2y+10z=100$

$x+y+z=100$ denkleminde $x$ yerine $10k$ yazalım. $10k+y+z=100$,  $y+z=100-10k$

$2k+2y+10z=2k+2(y+z)+8z$ $\Rightarrow$ $100+8z=18k$   $1 \le z \lt 10$ ve $18|100+8z$ olduğundan $z$ sadece $1$ olabilir.

$z=1$
   $\Rightarrow$ $k=6$
   $\Rightarrow$ $x=60$
   $\Rightarrow$ $y=39$'dır ve tek değer vardır.