Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 15

[geo]

$a$ nın kaç pozitif gerçel değeri için, $a^2x^2+ax+1-7a^2 = 0$ denkleminin farklı iki tam sayı kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Eğer polinomun iki tam sayı köküne $m$ ve $n$ dersek $$a^2x^2+ax+1-7a^2=a^2(x-n)(x-m)=a^2x^2-a^2(m+n)x+a^2mn$$ olur. Yani $$m+n=-\dfrac{1}{a}$$ $$mn=\dfrac{1}{a^2}-7$$ olacaktır. $\dfrac{1}{a}\in\mathbb{Z}^+$ olacağından $k\in \mathbb{Z}^+$ ve $a=\dfrac{1}{k}$ olacak şekilde bir $k$ vardır. Denklemde yazarsak $$\dfrac{x^2}{k^2}+\dfrac{x}{k}+1-\dfrac{7}{k^2}=0\implies x^2+kx+(k^2-7)=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemin iki farklı tamsayı kökü olması için $\Delta>0$ ve tamkare olmalıdır. $$\Delta=k^2-4(k^2-7)=28-3k^2$$ olduğundan $28>3k^2$ ve $3\geq k$ bulunur. $k=1,2,3$ için denersek üçü için de istenilen şartlar sağlanır. Dolayısıyla sadece $a=1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}$ olabilir.