Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{14}{11}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9}{7}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{3}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

(Eray Atay)

Yanıt: $\boxed{E}$

$\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ = $1+\dfrac{x+1}{x^2+x+5}$
Bu ifadenin en büyük değeri için, $\dfrac{x+1}{x^2+x+5}$ ifadesinin en büyük değeri bulunmalıdır. Bunun için kesri ters çevirip en küçük değeri bulunabilir. $\dfrac{x^2+x+5}{x+1}$ = $x+\dfrac{5}{x+1}$ = $x+1+\dfrac{5}{x+1}-1$
$x+1+\dfrac{5}{x+1}$ ifadesinin en küçük değerinin, aritmetik-geometrik ortalama yardımıyla $2\sqrt5$ olduğu görülebilir. O halde $x+1+\dfrac{5}{x+1}-1$'in en küçük değeri $2\sqrt5-1$ dir. Tekrar ters çevirirsek $\dfrac{x+1}{x^2+x+5}$ ifadesinin en büyük değeri $\dfrac{1}{2\sqrt5-1}$ = $\dfrac{2\sqrt5+1}{19}$ olarak bulunur.
O halde $\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ ifadesinin en büyük değeri, $1+\dfrac{2\sqrt5+1}{19} = \dfrac{20 + 2\sqrt 5}{19}$ dur.

[ERhan ERdoğan]

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ için $f'(x)=0$ denkleminin pozitif gerçel kökünü bulalım.

$f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2+x+5)-(2x+1)(x^2+2x+6)}{(x^2+x+5)^2}=0$ payı düzenlersek,

$x^2+2x-4=0 \Rightarrow (x+1)^2-5=0 \Rightarrow (x+1)^2=5$ ve $x>0$ için $x=\sqrt{5}-1$ dir. Bu noktada fonksiyonun bir ekstremumu vardır bu değer,

$f(\sqrt{5}-1)=\dfrac{(\sqrt{5}-1+1)^2+5}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1+1)+5}=\dfrac{10}{10-\sqrt{5}}$ dir.