Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 1

[geo]

Köşeleri düzlemdeki tam sayı koordinatlı noktalar olan birim karelere bakalım. Bu kareler (satranç tahtasındaki gibi) sırayla siyah ve beyaza boyanmış olsun. Her $(m,n)$ pozitif tam sayı çifti için, köşeleri tam sayı koordinatlı noktalar olan ve $m$ ve $n$ uzunluğundaki dik kenarları yukarıdaki karelerin kenarları üstünde bulunan bir dik üçgen alalım. $S_1$ ile bu üçgendeki siyah bölgelerin toplam alanını; $S_2$ ile de aynı üçgendeki beyaz bölgelerin toplam alanını gösterelim. $$f(m,n) = |S_1 - S_2|$$ olsun.

• Her ikisi de tek veya her ikisi de çift pozitif $m$ ve $n$ tam sayıları için $f(m,n)$ değerini hesaplayınız.
• Her $m$ ve $n$ için $f(m,n)\leq \frac 12 \max\{m,n\}$ olduğunu kanıtlayınız.
• $f(m,n) < C$ koşulunu $m$ ve $n$'nin tüm değerleri için sağlayan bir $C$ sabitinin bulunmadığını gösteriniz.