Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 2

[geo]

$A$ açısı $ABC$ üçgenindeki açıların en küçüğüdür. $B$ ve $C$ noktaları bu üçgenin çevrel çemberini iki yaya ayırıyor. $U$, $B$ ve $C$ arasındaki, $A$ noktasını içermeyen yayın bir iç noktası olsun. $[AB]$ ile $[AC]$'nin orta dikmeleri $AU$ doğrusunu sırasıyla $V$ ve $W$ noktlarında kesiyor. $BV$ ile $CW$ doğruları da $T$ noktasında kesişiyor. $$|AU|=|TB|+|TC|$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$CW$ çemberi $X$ noktasında kessin.
$\angle XBA = \angle XCA = \angle CAU$.
$\angle ABT = \angle BAU$.
$\angle BXC = \angle BAC = \angle BAU + \angle CAU = \angle ABT + \angle XBA = \angle XBT \Rightarrow XT=BT$
$AW=WC$ olduğu için $WU=XW$ dur. Bu durumda $AU = XC = XT + TC = BT + TC$ olur.