Yanıt: $\boxed{E}$
$b=c$ olduğunda her zaman $GI \perp BC$ olacaktır. Bu durumda, $|BC|=a$, $b=c$ den bağımsız olacaktır. Büyük olasılıkla, bundan dolayı resmi cevap anahtarında bu sorunun cevabı $(E)$ olarak verilmiş.
$b\neq c$ olma durumunda ise sorunun cevabı $(B)$ oluyor. Benim tahminim asıl sorulmak istenenin bu olduğu yönünde. Soruyu iptal etmek yerine $(E)$ şıkkını doğru cevap olarak kabul ettiklerini düşünüyorum.
Çözüme dönersek:$M$, $BC$ nin orta noktası; $H$, $BC$ ye ait yüksekliğin ayağı, $T$, içteğet çemberin $BC$ ye değdiği nokta olsun.
$B$ ve $C$ yi $x-$ekseni üzerinde $B<C$ olarak düşünelim. Bu durumda,
$$\vec{MT} = \vec {MC} + \vec {CT} \text{ ve } \vec{MH} = \vec {MC} + \vec {CH} \tag{1}$$ olacaktır. Kenarortay özelliğinden ve $GI \parallel AH$ olduğundan $$MG:MA = MT:MH = 1:3 \tag{2}$$ olacaktır. $(1)$ ve $(2)$ yi birleştirirsek $$ 3\vec{MC} + 3\vec{CT} = \vec {MC} + \vec {CH}$$ $$2\vec{BC} = 3\vec{TC} - \vec{HC} \tag{3}$$ elde ederiz.
$BC=a$ ve $u=\dfrac{a+b+c}{2}$ olmak üzere; yönlü olarak düşündüğümüzde, $$TC = u-c = \dfrac{a+b-c}{2} \text{ ve } HC = \dfrac{b^2-c^2+a^2}{2a} \tag{4}$$ olarak hesaplanır. Bu değerleri $(3)$ te yerine yazarsak, $$\begin{array}{rcl}
a &=& \dfrac{3a+3b-3c}{2} - \dfrac{b^2-c^2+a^2}{2a} \\
&=& a + \dfrac{3b-3c}{2}-\dfrac{b^2-c^2}{2a} \\
&=& a + \underbrace{\dfrac{(b-c)\left (3a - (b+c) \right )}{2a}}_{= 0}
\end{array}$$ elde ederiz. Bu durumda, $b=c$ veya $3a = b+c$ olmalı.
- $b=c$ durumunda, $a$ yı bağlayan tek şey $b+c = 2b>a$ üçgen eşitsizliği.
- $a=\dfrac{b+c}3$ durumunda ise üçgen eşitsizliğinin sağlanması için $2b>c$ ve $2c>b$ eşitsizliklerinin sağlanması gerekir.
