Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 28

[geo]

$a$, $x$, $y$, $z$ gerçel sayıları, $ax-y+z=3a-1$ ve $x-ay+z=a^2-1$ eşitliklerini sağlıyorsa, $x^2+y^2+z^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt[3]{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Verilen denklemleri birbirinden çıkartalım.  $$(a-1)(x+y)=3a-a^2$$ elde edilir. $a=1$ için eşitlik sağlanmadığından $x+y=\dfrac{3a-a^2}{a-1}$ olacaktır. $y=\dfrac{3a-a^2}{a-1}-x$ yazarsak $$z=3a-1-ax-x+\dfrac{3a-a^2}{a-1}=-x(a+1)+\dfrac{2a^2-a+1}{a-1}$$ elde edilir. Yani $$x^2+y^2+z^2=x^2+\left(x-\dfrac{3a-a^2}{a-1}\right)^2+\left(x(a+1)-\dfrac{2a^2-a+1}{a-1}\right)^2$$ Eğer özel olarak $x=0$ seçersek toplam $$\dfrac{(a^2-3a)^2+(2a^2-a+1)^2}{(a-1)^2}$$ haline gelecektir. Bizim iddiamız ise bu ifadenin şıklardaki her değere eşit olabileceğidir. Bu ifadeye $f(a)$ dersek $f(0)=1$ ve $\lim\limits_{a\to 1}f(a)=+\infty$ olduğundan ve $(0,1)$ aralığında sürekli olduğundan $1$'den büyük her ifadeye eşit olabilir. Dolayısıyla tüm şıklar sağlanabilir.

Örnek durum ise $f(a)=\text{"İstenen değer"}$ denkleminin $(0,1)$ aralığındaki bir çözümü $t$ ise $(a,x,y,z)=\left(t,0,\dfrac{3t-t^2}{t-1}, \dfrac{2t^2-t+1}{t-1}\right)$'dir.