Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 16

[geo]

$t$ gerçel sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için $x^4-tx+\dfrac 1t = 0$ denkleminin hiçbir kökü $[1,2]$ aralığında yer almaz?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$f(x,t) = x^4 - tx + \dfrac 1t$ olsun.
$t=6,7,8$ için $f(1,t) < 0$ ve $f(2,t)>0$ olduğu için $(1,2)$ aralığında $f(x,t)=0$ ın bir kökü vardır.

Bu durumda cevap ya $t=9$, ya da hiçbiri.
$t=9$ için denklem $x^4- 9x + \dfrac 19 = 0$ olacaktır.
$g(x) = x^4 - 9x$ olsun. $y=-\dfrac 19$ ile $y=g(x)$ fonksiyonlarının $[1,2]$ aralığında kesişip kesişmediklerini araştırıyoruz.

$g(x)$ in kökleri $0$ ve  $\sqrt[3]{9}$ olduğu için $(0, \sqrt[3]{9})$ aralığında $g(x) < 0$ olacaktır.
$g^\prime(x)=0$ denkleminin tek çözümü $x= \sqrt[3]{\dfrac 94}$ olduğu için $x= \sqrt[3]{\dfrac 94}$ noktasında eğri yön değiştirecek. Bu durumda $g(x)$ in $[1,2]$ aralığında en büyük değeri, $\max \{g(1), g(2)\} = g(2) = -2$  dir.

Bu durumda $y=g(x)$ eğrisi ile $y=-\dfrac 19$ doğrusu $[1,2]$ aralığı dışında kesişirler. (bkz. $g(x)$ in grafiği)