Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 04

[geo]

$\dfrac{\sin^3 x}{\cos x} + \dfrac{\cos^3 x}{\sin x}  \geq k$ eşitsizliğini her $x\in (0, \tfrac{\pi}{2})$ için sağlayan en büyük $k$ değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 34
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$$\begin{array}{lcl} \dfrac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin x \cos x} & = & \dfrac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{\sin x \cos x} \\ & = & \dfrac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 4\sin^2 x \cos^2 x}{2\sin x \cos x} \\ & = & \dfrac {2 - \sin^2 2x}{\sin 2x} \end{array}$$ $\sin 2x$ artarken; kesrin payı azalacak, paydası da artacak. Yani kesir küçülecek. Bu durumda kesir en küçük değerini $\sin 2x = 1$ en büyükken alır. Bu durumda $$ \dfrac {2 - \sin^2 2x}{\sin 2x} \geq \dfrac {2 - 1^2}{1} = 1 = k$$ olacaktır. Eşitlik $2x = \tfrac{\pi}2 \Rightarrow x = \tfrac {\pi}4$ iken sağlanır.

[geo]

$x+y = \dfrac {\pi}{2}$ olmak üzere; sorudaki eşitsizlik aşağıdaki eşitsizliğe dönüşür: $$\dfrac {\sin ^3 x}{\cos x} + \dfrac {\sin ^3 y}{\cos y} \geq k$$
$x \leq \pi / 4 \leq y$ olsun.
$\sin^3 x \leq \sin ^3 y$ ve $\dfrac {1}{\cos x} \leq \dfrac {1}{\cos y}$ olduğu için Yeniden Düzenleme Eşitsizliği (Rearrangement Inequality) gereği $$\dfrac {\sin ^3 x}{\cos x} + \dfrac {\sin ^3 y}{\cos y} \geq \dfrac {\sin^3 x}{\cos y} + \dfrac {\sin^3 y}{\cos x} =  \dfrac {\sin^3 x}{\sin x} + \dfrac {\sin^3 y}{\sin y} = \sin^2 x + \sin^2 y = 1 = k$$ elde edilir.