İkizkenar üçgen içerisinde P noktası

[utku_2178]

$ABC$ ikizkenar ($|AB| = |AC|$) üçgeninin iç bölgesinde $m(\widehat{BPC}) = 150^\circ $ ve $2.m(\widehat{BCP}) = m(\widehat{ACP})$ olacak şekilde bir $P$ noktası için
$$\dfrac{1}{|CP|} = \dfrac{1}{|AB|} + \dfrac{1}{|BC|}$$
olduğuna göre $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?


Hazırlayan Utku Cem KARABULUT

[Lokman Gökçe]

$\dfrac{1}{|CP|} = \dfrac{1}{|AB|} + \dfrac{1}{|BC|} \tag{1}$
eşitliği veriliyor. $m(\widehat{ACP})=x$ dersek $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 3x$ ve $m(\widehat{PBC}) = 30^\circ - 2x$ olur.

$BCP$ ve $ABC$ üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa
$|CP|=2\sin(30^\circ - 2x) \cdot |BC| \tag{2}$
ve
$|AB|= \dfrac{|BC|}{2 \cos(3x)} \tag{3}$
olur. Bu değerleri $(1)$ de yazarsak $$ (4\cos(3x) + 2)\cdot \sin(30^\circ - 2x) =1 \tag{4}$$ denklemi elde edilir. $(4)$ denklemini çözmek pek kolay görülmediği için $0<x<\dfrac{\pi}{12}$ aralığında wolframa sordum ve radyan olarak yaklaşık $x≈0.170209$ değerini veriyor. Bu da derece olarak $x≈10.2679 ^\circ $ değerini veriyor $\blacksquare $



$\bullet$ Benim işlem hatam yoksa, soruda bir problem görülüyor. Sorunuzun kaynağı ile beraber gönderirseniz, örneğin bir yarışmada sorulduysa, soru metnini kontrol etme şansımız olur. Yabancı kaynaklarda farkı çözüm sunulduysa bunları inceleyebiliriz vs.

[utku_2178]

$\dfrac{1}{|CP|} = \dfrac{1}{|AB|} + \dfrac{1}{|BC|} \tag{1}$
eşitliği veriliyor. $m(\widehat{ACP})=x$ dersek $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 3x$ ve $m(\widehat{PBC}) = 30^\circ - 2x$ olur.

$BCP$ ve $ABC$ üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa
$|CP|=2\sin(30^\circ - 2x) \cdot |BC| \tag{2}$
ve
$|AB|= \dfrac{|BC|}{2 \cos(3x)} \tag{3}$
olur. Bu değerleri $(1)$ de yazarsak $$ (4\cos(3x) + 2)\cdot \sin(30^\circ - 2x) =1 \tag{4}$$ denklemi elde edilir. $(4)$ denklemini çözmek pek kolay görülmediği için $0<x<\dfrac{\pi}{12}$ aralığında wolframa sordum ve radyan olarak yaklaşık $x≈0.170209$ değerini veriyor. Bu da derece olarak $x≈10.2679 ^\circ $ değerini veriyor $\blacksquare $



$\bullet$ Benim işlem hatam yoksa, soruda bir problem görülüyor. Sorunuzun kaynağı ile beraber gönderirseniz, örneğin bir yarışmada sorulduysa, soru metnini kontrol etme şansımız olur. Yabancı kaynaklarda farkı çözüm sunulduysa bunları inceleyebiliriz vs.

Benim hatam kusurumu bağışlayın.  Soruyu düzelttim.

[Lokman Gökçe]

Düzeltme halinde de trigonometrik denklemden wolfram'a göre $m(\widehat{BCP}) = x ≈17,1428^\circ $ olup yaklaşık $m(\widehat{BAC})≈77,143^\circ $ bulunuyor. Hata var mı diye işlemlerimi kontrol ediyorum ama basitçe sinüs teoremi uyguluyorum ve  bu sonuç geliyor.

[utku_2178]

Düzeltme halinde de trigonometrik denklemden wolfram'a göre $m(\widehat{BCP}) = x ≈17,1428^\circ $ olup yaklaşık $m(\widehat{BAC})≈77,143^\circ $ bulunuyor. Hata var mı diye işlemlerimi kontrol ediyorum ama basitçe sinüs teoremi uyguluyorum ve  bu sonuç geliyor.

Yanıtınız doğru, x = 120/7 ve m(BAC)=540/7 için denklem sağlanıyor.

[Lokman Gökçe]

Trigonometri ve biraz da calculus ile soruyu bir yere kadar ilerlettim. Bu kısmı paylaşayım:

$\dfrac{1}{|CP|} = \dfrac{1}{|AB|} + \dfrac{1}{|BC|} \tag{1}$
eşitliği veriliyor. $m(\widehat{ACP})=2x$ dersek $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 3x$ ve $m(\widehat{PBC}) = 30^\circ - x$ olur.

$BCP$ ve $ABC$ üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa
$|CP|=2\sin(30^\circ - x) \cdot |BC| \tag{2}$
ve
$|AB|= \dfrac{|BC|}{2 \cos(3x)} \tag{3}$
olur. Bu değerleri $(1)$ de yazarsak $$ (4\cos(3x) + 2)\cdot \sin(30^\circ - x) =1 \tag{4}$$ denklemi elde edilir. $(4)$ denklemini $0^\circ <x< 30^\circ $ (yani $0 < x < \dfrac{\pi}{6}$) aralığında çözmeliyiz. Bu aralıkta pozitif değerli $\cos(3x)$ ve $\sin(30^\circ - x)$ fonksiyonları azalan olduğundan aynı aralıkta sürekli $f(x)= (4\cos(3x) + 2)\cdot \sin(30^\circ - x)$ fonksiyonu da azalan ve bire birdir. $f(0^\circ)=3$, $f(30^\circ) = 0$ ve $0<1<3$ olduğundan sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremine göre $f(x_0)=1$ denklemini sağlayan yalnız bir tane $x_0 \in (0^\circ , 30^\circ )$ vardır.

$(4)$ denklemini kağıt kalemle çözmeyi başaramadığım için çözüm burada yarım kalıyor. Denklemi, çözüm adımlarını göstererek çözebilseydik bu çözüm geçerli (kabul edilebilir) bir çözüm olurdu.

Öte taraftan, $x_0=\dfrac{2\pi}{21}=\dfrac{120^\circ}{7}$ değerini $(4)$ denkleminde yazıp sağlatmak da adil bir çözüm olmadığı için o yola tevessül etmeyelim. Kaldı ki $(4\cos \dfrac{2\pi}{7} +2)\cdot \sin\dfrac{\pi}{14} = 1$ olduğunu göstermek de basit değildir. Yeri gelmişken, bu tür bir değer verip denklemi sağlatma yöntemi için fikrimi sunayım: Bu tür işlemler trigonometrik çözüm görünümlü, fakat soruya çözüm olmayan girişimlerdir. Sorunun hatalı/doğru olduğunu anlamaya yardımcı olan işlemlerdir. Yukarıdaki işlemleri de bu amaçla yazdım. Tam bir çözüm olması için, trigonometrik denklemin dönüşüm, ters dönüşüm v.b. formüllerle, özdeşliklerle adım adım çözülmesi gereklidir.

Geometrik/trigonometrik bir çözüme henüz ulaşamadım. Bulgularımı paylaşayım: $|CB|$, $|AB|$, $|BC|$ kenarlarına sahip üçgenin heptagonal üçgen olduğunu göstermek çözümde önemli bir işe yarayabilir.   $(1)$ bağıntısı, heptagonal üçgenin kenarları arasındaki bağıntıdır.

[utku_2178]

Görsel ve çözüm ekli pdf dosyasındadır.

[geo]

Biraz fazladan işlem var gibi duruyor; ama çözümüm aşağıdaki gibi:

$\angle PCB = 2\alpha$ ise $\angle PCA = 4\alpha$ ve $\angle BAC = 180^\circ - 12\alpha$.
$\triangle BPC$ çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $\triangle OBC$ eşkenar üçgendir. $\triangle BOC$ nin çevrel çemberi $OP$ yi $Q$ da kessin. $\angle BQO = \angle OQC = \angle OBC = \angle OCB = 60^\circ$, $\angle QCB = \angle BOP = 2\angle PCB = 4\alpha$, $\angle PCQ =\angle PCB = 2\alpha$, $\angle QBC = \angle QOC = 60^\circ - 4\alpha$.

$BQ$ ile $AC$ doğruları $R$ de kesişsin. $\angle PQC = \angle CQR = 60^\circ$ ve $\angle PCQ = \angle QCR = 2\alpha$ olduğu için $PQRC$ bir deltoittir. Bu durumda $PC=RC$.
$\dfrac {1}{CP} = \dfrac {1}{AB} + \dfrac {1}{BC} \Rightarrow AB\cdot CP + BC \cdot CP = AB\cdot BC$ $\Rightarrow AB\cdot CP = BC(AB-CP) \Rightarrow \dfrac {AB}{BC} = \dfrac {AB-CP}{CP} = \dfrac {AC - CR}{CR}$. Bu da $BR$ nin $\triangle ABC$ de bir iç açıortay olduğu anlamına gelir.

$\angle QBC = 60^\circ - 4\alpha = 3\alpha \Rightarrow \alpha = 60^\circ/7 \Rightarrow \angle BAC = 180^\circ - 720^\circ / 7 = 540^\circ / 7 = 3\pi/7$. $\blacksquare$