Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 07

[Lokman Gökçe]

$1,2,3,4$ rakamlarının permütasyonuyla elde edilen $4$ rakamlı sayıların tümünün toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 66660
\qquad\textbf{b)}\ 66000
\qquad\textbf{c)}\ 66600
\qquad\textbf{d)}\ 60000
\qquad\textbf{e)}\ 66666
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{A}$

Bu rakamlar kullanılarak yazılan $4! = 24$ adet sayının her basamağında bu rakamların her biri  $24/4 = 6$ kere tekrar eder. Bu durumda yazılabilecek sayıların toplamı $6(4+40+400+4000+3+30+300+3000+2+20+200+2000+1+10+100+1000) = 66660$ olur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Daha karmaşık tipteki soruları da çözmeye yarayacak güçlü bir yöntemi açıklayalım:

Her bir rakam her bir basamakta eşit sayıda ($6$ kez) görülecektir. $a=\dfrac{1+2+3+4}{4}=\dfrac52$ olmak üzere bu simetriden dolayı $4!=24$ sayının her birini $aaaa$ dört basamaklı sayısı gibi düşünebiliriz. Bunların toplamı $24\cdot aaaa = 24 \cdot a \cdot 1111 = 66660$ bulunur.