Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 20

[Lokman Gökçe]

$\begin{array}{lcr}  x+y & = & t \\ x^2 + y^2  & = & 2t \end{array}$
denklem sisteminin tüm reel değerli $(x,y,t)$ çözümleri içinde $t$ nin alabileceği en büyük değer ne olur?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 1+\sqrt2
\qquad\textbf{d)}\ 4+\sqrt2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{E}$

Bize verilen denklemi şu şekilde düzenleyelim:

$2(x+y)=2t=x^2+y^2 \Rightarrow x^2-2x+y^2-2y = 0 = (x-1)^2+(y-1)^2 = 2$

Burada denklemde herhangi bir değişkeni yalnız bırakacağız ve bunu bir fonksiyona atayacağız.

$f(y)= x  = 1 + \sqrt{2-(y-1)^2}$

Burada $x$ gerçel olduğundan $(y-1)^2\le 2$ olmalı ki buradan $1-\sqrt{2} \le y\le 1+\sqrt{2}$ bulunur.

Şimdi $x$ in maksimum olmasına bakalım. Bunun için $(y-1)^2$ ifadesi minumum olmalı ki  bir tamkare en az $0$ olabilir. O halde $\max{x}=1+\sqrt{2}$ olur.

$x=1+\sqrt{2}$ için, $y=1$ çözümü elde edilir. Eğer $y=1+\sqrt{2}$ için denersek $x=1$ buluruz.

Cevap : $1+\sqrt{2}+1= 2+\sqrt{2}$ olur.

[muuurat]

x+y nin max olması için x in max olması gerekmiyor. Bulduğunuz (1,1) merkezli kök2 yarıçaplı çembere teğet -1 eğimli bir doğru çizilirse t en büyük değerine ulaşır. Cevap 4 bulunur.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$(x+y)^2 \leq 2 (x^2 + y^2)$ eşitsizliğinin doğruluğunu gösterelim. Ya Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden, ya da cebirsel özdeşliklerden bu eşitsizliğin doğru olduğu görülebilir. Elemanter çözüm olsun diyerek

$$ 2 (x^2 + y^2) \geq (x+y)^2 \iff 2x^2 + 2y^2 \geq x^2+2xy +y^2 \iff x^2-2xy +y^2 \geq 0 \iff (x-y)^2 \geq 0$$

yazabiliriz. Son eşitsizlik doğru olduğundan $(x+y)^2 \leq 2 (x^2 + y^2)$ eşitsizliği de doğrudur. $t\geq 0$ değerlerini burada yazarsak $t^2 \leq 2\cdot 2t$ olup $0 \leq t \leq 4$ elde edilir. $t=4$ durumuna örnek çözüm $(x,y,t)=(2,2,4)$ vardır. $t_{\max} = 4$ tür.