Eşitsizlik Sorusu

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bir $ABC$ üçgeninin kenarları olan $a$,$b$,$c$ için :

         
                        $$2+\sqrt{2}<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}≤3\sqrt{2}$$

olduğunu gösteriniz. (AoPS)

Not: Kaynak taramasında sorunun sol tarafı için farklı bir değer olmalı ve o soru da AoPS de bulunuyormuş.

[matematikolimpiyati]

eşitsizlikte bir yanlışlık olabilir mi?
eşkenar üçgen için sağlamıyor mesela
$a=b=c$ alırsak $3\sqrt2 < \sqrt2$ çıkıyor

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Affedersiniz sadece biri için $\sqrt{2}$ bulmuşum sonda da 3 ile çarpmayı unutmuşum. Eşkenar üçgende haklısınız düzeltiyorum. Sol tarafı da 3 ile çarpacağım. Teşekkür ediyorum.

[Metin Can Aydemir]

En sağdaki eşitsizlik üçgen koşulu olmadan da doğruyken soldaki eşitsizlikte hata olduğunu düşünüyorum. Örneğin çok küçük bir $\epsilon>0$ için $a=1+\epsilon$, $b=1$ ve $c=2\epsilon$ alırsak üçgen eşitsizliğini sağlarız. Hatta garanti olsun diye $\frac{1}{2}>\epsilon>0$ diyelim. Yani $a,b,c$ üçgen belirtmiş olur. Ancak yerine koyarsak $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}=\frac{\sqrt{1+\epsilon}+1}{\sqrt{2+\epsilon}}+\frac{1+\sqrt{2\epsilon}}{\sqrt{1+2\epsilon}}+\frac{\sqrt{1+\epsilon}+\sqrt{2\epsilon}}{\sqrt{1+3\epsilon}}$$ elde edilir. Bu ifade $\epsilon$'a göre süreklidir ve $\epsilon$, $0$'a yaklaşırken bu ifade de $2+\sqrt{2}$'ye yaklaşacaktır. $\frac{81}{20}>2+\sqrt{2}$ olduğundan ifadeyi $\frac{81}{20}$'den küçük yapacak şekilde bir $\epsilon$ seçebiliriz.

Kesin ispatını yapmamakla beraber soldaki değerin $2+\sqrt{2}$ olması gerektiğini düşünüyorum. Daha küçük bir alt sınır da bulunabilir ama bu alt sınırın $3$ veya daha büyük olacağını söyleyebiliriz. Çünkü her $x,y>0$ için $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}>1$'dir. Üçgenlik koşulundan dolayı bu sınır $2+\sqrt{2}$'ye çekilebilir gibi geliyor.

[AtakanCİCEK]

Çözümde Hatalarım var düzelteceğim.1) Üst sınır için $K.O\ge A.O.$ eşitsizliğini yazarsak $\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$. Buradan $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}\le \sqrt{2}$ buradan da istenen elde edilebilir. (Eşitlik durumunu eşkenar üçgen sağladığı için üçgenler için de en üstten en iyi sınırı veren eşitsizliktir.)

Alt sınır için ben de soru üzerinde kendi denemelerimi yardımcı olabilir diye paylaşmak istedim.
1. denemem: İfadeye terim ekleyip çıkaralım.
$$\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{c}}{\sqrt{a+c}}+(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})-(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})$$
$$= (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}})-(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})$$ elde edilir. Çıkarmadan sonraki ifade için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden yardım alalım:
$$(1.\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+1.\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}+1.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}) \le \sqrt{3}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}}<\sqrt{6}$$ ifadesi Petrovic-(1932) eşitsizliği yardımıyla elde edilebilir. Buradan ana ifademiz
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}})-(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}})-\sqrt{6}$$  Bu elde edilen ifadede $K.O.\ge A.O$ veya  $A.O\ge H.O.$  eşitsizlikleri ile alt sınır elde edilebiliyor. Fakat Metonster'in yukardaki gösterdiği yöntemle en son elde ettiğimiz ifadeyi denersek alt sınırın $4+\sqrt{2}-\sqrt{6}$ gelmesi gerekiyor yani istediğimiz en iyi alt sınırdan bir miktar sapmış oluyoruz.  Bu durumu engellemek için ise Ravi dönüşümden sonra cebirsel eşitsizlikleri uygulamak aklıma geldi.
$$\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}$$ Bu ifadenin $2$ den küçük olduğunu ispatlayalım.
$x,y,z\in R^+$  olmak üzere $a=x+y$, $b=x+z$  $c=y+z$ dönüşümlerini yaparsak
$$\sqrt{\dfrac{x+z}{x+2y+z}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{x+y+2z}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2x+y+z}}$$ haline geldiğini göz önünde bulunduralım.
Aşağıdaki $A.O. \ge G.O$ eşitlikleri ile ispata başlayalım.
$$\dfrac{(x+y)+(y+z)}{2}\ge \sqrt{(x+y)(y+z)}$$
$$\dfrac{(x+y)+(x+z)}{2}\ge \sqrt{(x+y)(x+z)}$$
$$\dfrac{(x+z)+(y+z)}{2}\ge \sqrt{(x+z)(y+z)}$$
Buradan $$x+y+z\ge \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(x+z)}+\sqrt{(x+z)(y+z)}$$ olur. Devam edersek,
$$\dfrac{\sqrt{(x+y)(y+z)}}{x+y+z}+\dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x+y+z}+\dfrac{\sqrt{(x+z)(y+z)}}{x+y+z}\le 1$$
$x+y+z<x+y+2z$ , $x+y+z<x+2y+z$  ve $x+y+z<2x+y+z$ eşitsizliklerini de göz önünde bulundurursak yukarıdaki eşitsizliğimizde
$$1> \dfrac{\sqrt{(x+y)(y+z)}}{\sqrt{(x+y+2z)(2x+y+z)}}+\dfrac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{\sqrt{(x+y+2z)(x+2y+z)}}+\dfrac{\sqrt{(x+z)(y+z)}}{\sqrt{(2x+y+z)(x+2y+z)}}$$ Sonrasında,
$$\dfrac{\sqrt{ac}}{\sqrt{(b+c)(a+b)}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}< 1$$ olur.
Bu eşitsizliği 2 ile çarpıp Petrovic-(1932) eşitsizliği ile taraf tarafa toplayalım.
$$0<\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}+2.(\dfrac{\sqrt{ac}}{\sqrt{(b+c)(a+b)}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+c)(a+b)}})<4$$. Bu ifadede her iki tarafın karekökünü alırsak
$$\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}<2$$ olduğunu üçgenler için ispatlamış oluruz.
$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}})>4+\sqrt{2}$$ olduğunu ispatlarsak ispat biter.
Burdan sonrasını henüz ispatlamayı tamamlayamadım. Çok uzun olduğu için şu anlık bu şekilde paylaşmak istedim