Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 6

[Lokman Gökçe]

Hiçbir $n$ pozitif tam sayısı için $$n^4+3n^2+1$$ sayısının bir tam kare olmadığını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Sıkıştırma yöntemiyle problemi kolayca çözebiliriz. Başlayalım: $n$ ve $m$ birer pozitif tamsayı olmak üzere $n^4 + 3n^2 +1 = m^2$ olduğunu varsayalım.

$(n^2+1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1 < n^4 + 3n^2 +1$ ve $(n^2+2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4 > n^4 + 3n^2 +1$ olduğundan $(n^2+1)^2 < n^4 + 3n^2 +1 < (n^2+2)^2$ yazılır. $(n^2+1)^2 < m^2 < (n^2+2)^2$ eşitsizliğinden $n^2+1 < m < n^2+2$ bulunur. $n^2+1$ ve $n^2+2 $ ardışık tamsayılarının arasından bir başka $m$ tamsayısı olamaz.

Sonuç olarak, hiçbir $n$ pozitif tamsayısı için $n^4 + 3n^2 +1$ sayısı bir tam kare olamaz.