Tübitak Lise Takım Seçme 2009 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Hangi $p$ asal sayıları için, $1+p+\prod\limits_{i=1}^{2p-2} Q(x^i)$ polinomunun en az bir tam sayı kökü olacak biçimde, tam sayı katsayılı bir $Q(x)$ polinomunun bulunduğunu belirleyiniz.

(Şahin Emrah)

[merdan97]

$Q(x^{i})\equiv Q(x^{i+p-1}) \pmod p$ olduğu için:

$1+p+\prod\limits_{i=1}^{2p-2} Q(x^i)\equiv 1+\prod\limits_{i=1}^{p-1} Q(x^i)^2\pmod p$ bulunur.

Dolayısıyla eğer bir $x_1$ için bu $x_1$ tamsayı kök ise:

$1+p+\prod\limits_{i=1}^{2p-2} Q(x^i)\equiv 1+\prod\limits_{i=1}^{p-1} Q(x^i)^2\equiv 0\pmod p$ $\Rightarrow p=4k+1$ formatında veya $p=2$

$p=4k+1$ için eğer $x_1$ polinomun bir kökü ise:

$Q(x^{i})\equiv Q(x^{i+4k})\equiv Q(x^{i+p-1})\pmod 4$ olduğundan:

$1+p+\prod\limits_{i=1}^{2p-2} Q(x^i)\equiv 1+1+\prod\limits_{i=1}^{p-1} Q(x^i)^2\equiv 0\pmod 4$

$\prod\limits_{i=1}^{p-1} Q(x^i)^2\equiv 2\pmod 4$ olur; ama bu imkansızdır.

O zaman $p=2$ olmalı. $p=2$ için polinomumuz $3+Q(x)Q(x^2)$ şekinde olur.

$Q(x)=2x+1$ ve $x_1=-1$ seçersek: $3+Q(-1)Q(1)=3+(-1)3=0$ bulunur.

Kaynak:
Okan TEKMAN (2009 Yaz Kampı Büyük Sınıf Notları)