Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2005 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $H$ noktası $[AC]$ kenarı, $D$ noktası da $[BC]$ kenarı üstünde olmak üzere, $BH \perp AC$ ve $HD\perp BC$ dir. $ABH$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{1}$, $BHD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{2}$ ve $HDC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O_{3}$ olsun. $O_{1}O_{2}O_{3}$ üçgeninin alanının, $ABH$ üçgeninin alanına oranını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): Dik üçgende çevrel çemberin merkezi, hipotenüsün orta noktası olduğundan

$|AO_1|=|BO_1|$, $|BO_2|=|HO_2|$, $|HO_3|=|CO_3|$ olur.

Buna göre $O_1O_2 \parallel AC$ dir. Taban ve yükseklikleri eşit ügenlerin alanları da eşit olduğundan $$ Alan(O_1O_2O_3)=Alan(AO_1O_2) $$ ve $$ Alan(AO_1O_2)=Alan(BO_1O_2) $$ eşitlikleri vardır. $ BO_1O_2 \sim BAH $ ve benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan alanlar oranı $\dfrac{1}{4}$ tür. $$Alan(BO_1O_2)=\dfrac{1}{4} Alan(ABH)$$ yazılır. Bu eşitliklerden $$ Alan(O_1O_2O_3)=\dfrac{1}{4} Alan(ABH)$$ elde edilir.