Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 17

[alpercay]

Kenar uzunluğu $10$ olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası için $|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=128$ ise, kenar uzunlukları $|PA|, |PB|, |PC|$ olan bir üçgenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 6\sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 7\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ 8\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 9\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ 10\sqrt{3}
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{A}$

Üçgenin dışarısında $\triangle C'AC\cong \triangle PAB$ olacak şekilde $C'$ noktası alalım. $\angle PAB=\angle C'AC\Rightarrow \angle PAC'={60}^{\circ }$ olacaktır. Bu durumda, $\triangle PAC'$ üçgeni eşkenar olur. $\triangle PC'C$ üçgeninin kenarları $PC'=PA$, $C'C=PB$, $PC$ dir. Bu durumda bize sorulan $\triangle PC'C$ üçgeninin alanıdır.

Benzer şekilde, $\triangle B'BC\cong \triangle PAC$ olacak şekilde üçgenin dışında $B'$ noktası,

$\triangle A'AB\cong \triangle PCB$ olacak şekilde üçgenin dışında $A'$ noktası alalım.

$S=[PAA']=[PCC']=[PBB']$ diyelim.

$[AA'BB'CC']=[ABC]+[A'AB]+[B'BC]+[C'CA]=2[ABC]$ dir.

$[AA'BB'CC']=[BA'P]+[CB'P]+[AC'P]+3S$ dir.
\[\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{y^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{z^2\sqrt{3}}{4}+3S=2\cdot \dfrac{{10}^2\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {(x}^2+y^2+z^2)\sqrt{3}+12S=200\sqrt{3}\Rightarrow 12S=72\sqrt{3}\Rightarrow S=6\sqrt{3}\ \]

[geo]

(Hasan TUNÇ)

$P$ nin $BC$, $AC$, $AB$ kenarlarına göre simetrikleri sırasıyla, $P_A$, $P_B$, $P_C$ olsun.
Açık şekilde,  $AP = AP_B = AP_c$, $BP=BP_A = BP_C$, $CP = CP_A = CP_B$ ve $\angle P_CAP_B = \angle P_ACP_B = \angle P_ABP_C = 120^\circ$.

$\triangle P_BAP_C$ bir $30^\circ - 30^\circ - 120^\circ$ üçgenidir. Dolayısıyla $P_BP_C = AP_B \sqrt 3 = AP \sqrt 3$ tür. Benzer şekilde $P_AP_C = BP\sqrt 3$ ve $P_AP_B = CP \sqrt 3$ tür. Bu durumda soruda sorulan üçgenle $\triangle P_AP_BP_C$ üçgeni benzer, üçgenlerin benzerlik oranı $\dfrac 1{\sqrt 3}$, alanları oranı $\dfrac 13$ tür.

$[AP_BCP_ABP_C] = 2 \cdot [ABC] = 50\sqrt 3$ ve

$[AP_BCP_ABP_C] = [P_AP_BP_C] + [AP_BP_C] + [BP_AP_C] + [CP_AP_B]$

$[AP_BCP_ABP_C] = [P_AP_BP_C] + \dfrac 12 \cdot AP^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{2} + \dfrac 12 \cdot BP^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{2} + \dfrac 12 \cdot CP^2 \cdot \dfrac {\sqrt 3}{2} $

$50\sqrt 3 = [P_AP_BP_C] + \dfrac {\sqrt 3}{4} \cdot (AP^2 + BP^2 + CP^2)$

$50\sqrt 3 = [P_AP_BP_C] + 32\sqrt 3 \Rightarrow [P_AP_BP_C] = 18\sqrt 3$

$\triangle P_AP_BP_C$ ile sorulan üçgenin alanları oranı $3$ olacağı için cevap $18\sqrt 3 / 3 = 6\sqrt 3$ tür.