Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 11

[alpercay]

$x^4+y^4+2x^2y+2xy^2+2=x^2+y^2+2x+2y$ eşitliğinin sağlayan kaç $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$(x^2 + y - 1)^2 = x^4 + y^2 + 1 + 2x^2y - 2y - 2x^2$
$(y^2 + x - 1)^2 = y^4 + x^2 + 1 + 2xy^2 - 2x - 2y^2$

Taraf tarafa toplarsak

$(x^2 + y - 1)^2 + (y^2 + x - 1)^2 = x^4 + y^4 + 2x^2y + 2xy^2 + 2 - x^2 - y^2 - 2x - 2y = 0$

Bu durumda $x^2 = 1 - y$ ve $y^2 = 1 - x$ olmalı.
$x^2 - y^2 = 1-y - (1-x) = (x-y) \Rightarrow (x-y)(x+y-1) = 0$
$x=y$ ise, $x^2 = 1- x \Rightarrow x^2 + x - 1$ den iki gerçel kök çıkacak.

$x+y=1$ ise $x^2 = 1 + x-1=x \Rightarrow x^2 - x = x(x-1)= 0$ den de iki gerçel kök çıkacak.

Bu durumda $(x,y)$ ikililerinin sayısı $4$ tür. Bunları yazalım:
$(0,1)$, $(1,0),\left(\frac{-1+\sqrt 5}{2}\right),\left(\frac{-1-\sqrt 5}{2}\right)$