Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 4

[mehmetutku]

$|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin küçük $AB$ ve $AC$ yayları üzerinde sırasıyla üçgenin köşelerinden farklı $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $AD$ ve $BC$ doğrularının kesişme noktası $F$, $AE$ doğrusunun $FDE$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta ise $G$ olsun. $AC$ doğrusunun $ECG$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

İspatlamamız gereken $|AC|^2=|AE|\cdot |AG|$  olduğudur.  $F \ , \ D \ , \ E \ , \ G$  çemberseldi. Dolayısıyla $|AE|\cdot |AG|=|AD|\cdot |AF|$  dir.  $|AB|=|AC|$  olduğu için $|AB|^2=|AD|\cdot |AF|$  olduğunu ispatlarsak soru biter. Yani $AB$ 

doğrusunun $FDB$  üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu ispatlamalıyız. $\angle DFB= \alpha \ , \ \angle DBA=\beta \ , \ \angle DAB=\theta$  olsun.  $\alpha=\beta$  olduğunu ispatlamalıyız. $\angle ABC=\angle ACB=\alpha + \theta$  olur. Aynı yayı gördükleri

için  $\angle DAB= \angle DEB=\theta$  olur. Benzer şekilde $\angle DBA=\angle DEA=\beta $ olur. Yani $\angle AEB= \beta + \theta$  olur.  Yine aynı yayı gördükleri için $\angle ACB=\angle AEB$  olur.  Yani $\alpha + \theta=\beta + \theta$  olur.  Dolayısıyla $\alpha=\beta$  olur. İspat biter.