Tübitak Lise Takım Seçme 2016 Soru 3

[Eray]

$a^2+b^2+c^2\le3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları için $$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a)$$ olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\leq 3$ ve $a+b+c \geq \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3}\geq 3abc$ olduğundan;
$$ abc(a+b+c)=\dfrac{2abc(a+b+c)}{3}+\dfrac{abc(a+b+c)}{3} \leq 2abc+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}$$
elde edilir. O halde;
$$ (a+b+c)^2-2abc-\dfrac{(a+b+c)^2}{9} \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$$
olduğunu yani;
$$ \dfrac{4(a+b+c)^2}{9} \geq a^2b+b^2c+c^2a+abc$$
olduğunu göstermemiz gerekir. $ \dfrac{4(a+b+c)^2}{9} \geq \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$ olduğundan son olarak gösterilmesi gereken;
$$ \dfrac{4(a+b+c)^3}{27} \geq a^2b+b^2c+c^2a+abc$$
olduğudur. Genelliği bozmaksızın $a=\min \{a,b,c \}$ olsun. $b=x+a, c=y+a$ ve $x,y \ge 0$ olsun. Yerine yazarsak;
$$9a(x^2-xy+y^2)+(2x-y)^2(4x+y) \ge 0$$
olduğundan doğrudur. İspat biter. Eşitlik $(1,1,1)$ ve $(0,0,0)$ için sağlanır.

[MATSEVER 27]

İkinci ve daha estetik bir çözüm verelim.

Öncelikle $a^2b+b^2c+c^2a=S$ olsun. $3 \ge a^2+b^2+c^2 \ge 2ab+c^2 \ge 2ab+2c-1 \Rightarrow ab+c \le 2 \Rightarrow ab^2c+ac^2 \le 2ac$ biliyoruz. Taraf tarafa toplanırsa $abc(a+b+c)+S \le 2(ab+bc+ca)$ elde edilir. O halde göstermemiz gereken son şey $S \le a^2+b^2+c^2$ olduğudur. $1 \ge abc$ biliyoruz. $S=a^2b+b^2c+c^2a \le a^{\frac{7}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}} +b^{\frac{7}{3}} c^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{7}{3}} a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \le a^2+b^2+c^2$ olduğunu Muirhead'den biliyoruz. İspat biter.

[MATSEVER 27]

Bu soruya benzer biçimde türetilebilecek 3 farklı soru verelim.

$a^2+b^2+c^2 \le 3$ koşulunu sağlayan bütün $a,b,c >0$ gerçel sayıları için;

(i.) $2+abc \ge ab+bc+ca$ sağlanır.

(ii.) $a+b+c \ge a^2b+b^2c+ca^2$ sağlanır.

(iii.) $a^2+b^2+c^2+3abc \le 2(a+b+c)$ sağlanır.

[MATSEVER 27]

$a^2+b^2+c^2+abc \le 4$ koşulunu sağlayan $a,b,c\ge0$  gerçel sayıları için de;
$$(a+b+c)(a+b+c-abc)\ge2(a^2b+b^2c+c^2a)$$
olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$ \dfrac{4(a+b+c)^3}{27} \geq a^2b+b^2c+c^2a+abc$$

Vasc Eşitsizliği olarak bilinen bu eşitsizlik, Vasile Cirtoaje'ye ait bir çalışmadır.