ilk terimi $a$ ile ikinci terimi $b$ ile üçüncü terimi de $c$ ile genişletirsek,
$$\dfrac{a^2}{a^3+ab^3+c^3}+\dfrac{b^2}{a^3b+b^3+bc^3}+\dfrac{c^2}{a^3c+b^3c+c^3}$$
cauchy-schwarz ı kullanırsak (cauchy 'den türeyen bir faydalı eşitsizlik):
$$\dfrac{a^2}{a^3+ab^3+c^3}+\dfrac{b^2}{a^3b+b^3+bc^3}+\dfrac{c^2}{a^3c+b^3c+c^3}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3}$$ elde edilir. Düzenlersek:
$$=\dfrac{(a+b+c)^2}{a^4+b^4+c^4+a^3b+ab^3+a^3c+ac^3+b^3c+bc^3}=\dfrac{(a+b+c)^2}{(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}$$
$ \dfrac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3} \geq 1$ bu eşitsizliği kanıtladığımızda soru bitmiş olur.
$ a+b+c \geq a^3+b^3+c^3$ olarak düzenleyelim.
her iki tarafı $(a^3+b^3+c^3)$ ile çarpıp cauchy uygulayalım.
$$ (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)$$ sol tarafa cauchy yaparsak.
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq (a^3+b^3+c^3)^2$$
$$ (a^2+b^2+c^2) \geq (a^3+b^3+c^3)$$
sol tarafı $a^4+b^4+c^4$ ile sağ tarafı da $a^3+b^3+c^3$ ile çarpalım ( soruda bize $a^4+b^4+c^4 =$ $a^3+b^3+c^3$ verilmiş)
$$ (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4) \geq (a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)$$ ki bu eşitsizlik de cauchy schwartz eşitsizliğinden doğrudur.
Not: çözümün bir kısmı AOPS'den alıntıdır
