$a\in\{1,2,3,4,5\}$ olsun. $f(\{a\})\in\{a\}$ olduğundan $f(\{a\})=a$ olmalıdır. $f(A)=n\in A$ diyelim. Bu durumda $n$'yi içeren herhangi bir $B\subset A$ için $$n=f(A)\in \{f(B),f(A-B)\}$$ olacağından ve $n\not\in A-B$ olduğundan $f(B)=n$ olmalıdır. Benzer şekilde $A'=A-\{n\}$ dersek ve $f(A')=m$ ise $m$'yi içeren her $A'$ altkümesi için $f$ fonksiyonunun sonucu $m$ olmalıdır. Yani $A_0=A$ ve $A_{i+1}=A_{i}-\{f(A_i)\}$ şeklinde $5$ küme oluşturabiliriz ve $$f(A_0), f(A_1), f(A_2), f(A_3), f(A_4)$$ kümelerini $A$'nın farklı elemanlarına sahip olmalıdır ve her permütasyonda farklı bir tane $f$ fonksiyonu oluşturabiliriz. Dolayısıyla $\boxed{5!=120}$ farklı fonksiyon vardır.
Anlaşılması için örnek verelim. $(f(A_0), f(A_1), f(A_2), f(A_3), f(A_4))=(2,1,5,3,4)$ için buna karşılık gelen fonksiyon, $$f(B)=\begin{cases} 2 & \text{eğer } 2\in B\\ 1 & \text{eğer } 1 \in B, 2\not\in B\\ 5 & \text{eğer } 5 \in B, 1,2\not\in B\\ 3 & \text{eğer } 3 \in B, 1,2,5\not\in B\\ 4 & \text{eğer } B=\{4\} \end{cases}$$ olacaktır.
