Tübitak Lise 2. Aşama 2004 Soru 3

[geo]

• $n^{2}-1$, $n^{2}-2$ ve $n^{2}-3$ sayılarından her biri için, bu sayının pozitif bölenlerinin sayısını $10$ yapan bir $n$ tam sayısı bulunuz.
• $n^{2}-4$ ün pozitif bölenlerinin sayısının, $n$ tam sayısının hiçbir değeri için $10$ olamayacağını gösteriniz.

[geo]

(Eren DURLANIK)

• $n=7$ için $n^2-1=,2^43^1$  olur ve pozitif bölenleri sayısı $10$ olur.
  $n=235$  için $n^2-2=7^4{23}^1$  olur ve pozitif bölenleri sayısı $10$ olur.
  $n=4936$  için $n^2-3={37}^4{13}^1$  olur ve pozitif bölenleri sayısı $10$ olur.
  
• Genelliği bozmadan $n$  yi pozitif kabul edelim. $n^2-4$ ün pozitif bölen sayısının $10$ olması için, $p$  ve $q$ birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere  $n^2-4=p^9$  veya $n^2-4=p^4q$  olmalıdır.
  
  • $n^2-4=p^9$  sağlanıyorsa:
    $(n-2)(n+2)=p^9$  olur. $n+2>1$  olduğundan $p|n+2$ olmalıdır. Eğer $p|n-2$ ise $p|4$  olur. Öyleyse $p=2$ dir ve $n^2=2^9+4$ sağlanır, ki bu durumda $n$  tamsayı olamaz. Eğer $p\nmid n-2$ ise $n-2=1$ yani $n=3$ olur. Dolayısıyla $p^9=5$ bulunur ve p tamsayı olamaz. Yani $n^2-4=p^9$  un çözümü yoktur.
  • $n^2-4=p^4q$  sağlanıyorsa:
    $(n-2)(n+2)=p^4q$  olur. $(n-2,n+2)=d$  olsun. $d\ne 1$  ise $d^2|p^4q$  olacağından,$p|d$  olmalıdır. Öyleyse $p|n-2$,  $p|n+2$ ve dolayısıyla $p|4$ yani $p=2$ elde ederiz.  Yani $(n-2)(n+2)=16q$  olmalıdır. $4\nmid n-2$  olsaydı $4\nmid n+2$ ve $16\nmid (n-2)(n+2)$ olurdu ve çelişki elde ederdik. $4|n-2$  ve $4|n+2$ olmalıdır. Öyleyse $n-2=4,\ n+2=4q$  ya da $n-2=4q,\ n+2=4$ olmalıdır. İki durumdan da çözüm gelmediği barizdir. Demek ki $d=1$ sağlanmalıdır. Bu durumda $n-2=p^4,\ n+2=q$  yada $n-2=q,\ n+2=p^4$  olmalıdır. İlk olarak   $n-2=p^4,\ n+2=q{\rm \ \ }$  durumunu inceleyelim. $p^4+4$  asal olmalı; fakat $p^4+4=(p^2-2p+2)(p^2+2p+2)$  olduğundan $p^2-2p+2=1$ olmalı ve $p=1$ bulunur, yani bu durum mümkün değildir. Şimdi de $n-2=q,\ n+2=p^4$  durumunu inceleyelim. $p^4-4$  asal olmalı; fakat $p^4-4=(p^2-2)(p^2+2)$  olduğundan $p^2-2=2$ olmalı ve buradan da çözüm gelmez.
  Sonuç olarak, $n^2-4$ ün hiçbir zaman $10$ pozitif böleni olamaz.