Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1959 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$$\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A$$ denkleminin gerçel köklerini $(a)  A=\sqrt{2} ,  (b)  A=1 , (c)  A=2$ iken bulunuz. (Karekök içerisindeki ifadelerin negatif olmadığını varsayın.)

[Egemen]

Denklemin karesini alalım.

$x+\sqrt{2x-1}+2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}+x-\sqrt{2x-1}$

$2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}=2\sqrt{(x-1)^2}$ O zaman

$x+\sqrt{2x-1}+2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}+x-\sqrt{2x-1}=4x-2=A^2$

$A=\sqrt2 \Rightarrow 4x-2=2$,     $x=1$

$A=1 \Rightarrow 4x-2=1$,     $x=\dfrac{3}{4}$

$A=2 \Rightarrow 4x-2=6$,     $x=\dfrac{6}{4}$