2015 ortaokul kamp sonu sınavı soru 1. { çözüldü }

[MATSEVER 27]

Bir $ABC$ üçgeninde $B$ ve $C$ köşelerinden geçen bir çember $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırası ile $E$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $DBC$ yayının orta noktası $X$, $ECB$ yayının orta noktası $Y$ olsun. $XY$ doğrusunun $CAB$ açısının iç açıortayına dik olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$[EX$ ve $[DY$ sırasıyla $BED$ ve $CDE$ açılarının açıortaylarıdır. Bu iki ışının kesim noktası olan $K$ da $AED$ üçgeninin $[DE]$ kenarına nazaran dış teğet çember merkezi olduğundan, $CAB$ açısının açıortayı da $K$ den geçer. $\angle{EDY}=\angle{EXY}=\alpha $ diyelim. Buradan $\angle{ADE}=180-2\alpha \Rightarrow \angle{AKE}=90-\alpha$ olur. $AK$ nın $XY$ ile kesişimi olan $T$ için $\angle{TKX}+\angle{TXK}= 90^\circ$ dir.