Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ \dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = k$ eşitliğini sağlayan $x$, $y$ gerçel sayıları veriliyor. $$\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8} + \dfrac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8} $$ ifadesinin $k$ türünden eşitini bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$k$ ifadesinin eşitinde payda eşitlersek $k=\dfrac{(x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}$ olup $$\dfrac{k}{2} = \dfrac{x^4 + y^4}{x^4 - y^4} $$ elde edilir. Buna göre $ \dfrac{k}{2} + \dfrac{2}{k} = \dfrac{x^4 + y^4}{x^4 - y^4} + \dfrac{x^4 - y^4}{x^4 + y^4} $ olup yine payda eşitlersek $$\dfrac{k^2 + 4}{4k} = \dfrac{x^8 + y^8}{x^8 - y^8} \tag{1}$$ bulunur. Buna göre $$ \dfrac{4k}{k^2 + 4} = \dfrac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8} \tag{2}$$ yazılır. $(1)$ ve $(2)$ ifadelerinin toplamından $$ \dfrac{x^8 + y^8}{x^8 - y^8}  + \dfrac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8} = \dfrac{k^4 + 24^2 + 16}{4k^3 +16k} $$ elde edilir $\blacksquare$