Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 14

[geo]

$5p(2^{p+1}-1)$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$p=2$ olamaz.

$p=5$ ise $2^{p+1}-1$ in tam kare olması gerekir ki değil.

$p \neq 5$ ise $2^{p+1} \equiv 1 \pmod p$ olmalı. Fermat'tan $2^p \equiv 2 \pmod p \Rightarrow 2^{p+1} \equiv 4 \equiv 1 \pmod p \Rightarrow p=3$ tür.

$p=3$ için $5p(2^{p+1}-1) = 15 \cdot 15$ olduğu için tek bir asal sayı için söz konusu ifade tam karedir.