EŞİTSİZLİK 153

[MATSEVER 27]

$ab+bc+ca \ge a+b+c$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{ab}{a^2+2b}+\dfrac{bc}{b^2+2c}+\dfrac{ca}{c^2+2a} \le \left(\frac{a+b+c}{3} \right)^2$$
olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Berke İşler)

[ArtOfMathSolving]

$(a+b+c)^2\ge 3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğinden $ab+ac+bc\ge 3$ bulunur.

İfade $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^2+2b}\le 1\end{align*}$ şekline döner.

Diğer taraftan;

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge 1\Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}=\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{a^3+2ab}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^3+b^3+c^3+2(ab+ac+bc))}\ge \dfrac{9}{9}=1 \square\end{align*}$ Ve ispat biter.

Soruya ilk baktığımda Jensen Aklıma gelmişti fakat bir türlü bulamadım , Jensen den çözüm bulan paylaşabilir mi ?

[Eray]

$(a+b+c)^2\ge 3(ab+ac+bc)$ eşitsizliğinden $ab+ac+bc\ge 3$ bulunur.

İfade $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{ab}{a^2+2b}\le 1\end{align*}$ şekline döner.

$ab+ac+bc\ge3$ değil, $a+b+c\ge3$ olmalı.

Diğer taraftan;

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge 1\end{align*}$

$\sum\dfrac{2ab+a^3-a^3}{a^2+2b}\le 2$ eşitsizliği, $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}+2\ge a+b+c$ eşitsizliğine denktir. Ancak $a+b+c\ge3$ olduğundan, son eşitsizlik için $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}\ge1$ olduğunu ispatlamak yeterli değildir.

[ArtOfMathSolving]

Yanlış anlamadıysam , $\sum\dfrac{a^3}{a^2+2b}+2\ge a+b+c$ eşitsizliğinin ispatlanması gerektiğini söylüyorsunuz.$a\ge b\ge c$ kabul edip, Düzenlersek,

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{a^2+2b-ab}{a^2+2b}\ge 0 \Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{(a-2)(a+2-b)+4}{a^2+2b}\ge 0\end{align*}$ aşikar çözüm .

veya Tüm terimleri tek tarafta toplayıp tamkare yaparak sıfırdan büyük olabileceğini görebiliriz. Yanlış mı anladım ?